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NOMBRES

${\frac {1}{(m,n-1)}}={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {m!}{(m+n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}\,;$

d’où, en ajoutant et réduisant,

${\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\frac {1}{(2,n-1)}}+\ldots +{\frac {1}{(m,n-1)}}$

$={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1}{(n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}\,;$

ou encore

${\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\frac {1}{(2,n-1)}}+\ldots +{\frac {1}{(m,n-1)}}$

$={\frac {(n-1)}{n-2}}\left\{1-{\frac {1}{(m+1,n-2)}}\right\}\,;\qquad$(11)

Si, dans cette dernière formule, ou suppose $m=\infty ,$ elle deviendra simplement,

${\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\tfrac {1}{(2,n-1)}}+{\tfrac {1}{(3,n-1)}}+\ldots ={\frac {(n-1)}{n-2}}\,;\quad$(12)

c’est-à-dire,

$1+{\tfrac {1}{n}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}.{\tfrac {3}{n+2}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}.{\tfrac {3}{n+2}}.{\tfrac {4}{n+3}}+\ldots ={\frac {(n-1)}{n-2}}.$

§. III.

Démonstration du principe qui sert de fondement à la méthode donnée par M. Budan, pour la résolution des équations numériques.

Soient $P_{0,0},P_{0,1},P_{0,2},P_{0,3},\ldots P_{0,n-1},P_{0,n},\ldots$les termes de la première ligne horizontale d’une table à double entrée, dont la loi soit telle qu’un terme quelconque de cette table soit égal à celui qui le précède immédiatement à gauche, augmenté de celui qui est immédiatement au-dessus de lui. En désignant par $P_{k,n}$ ce terme quelconque, on aura

$P_{k,n}=P_{k,n-1}+P_{k-1,n}.\qquad$(13)

Pour connaître ce terme $P_{k,n}$, il est clair qu’il sera nécessaire et suffisant de connaître les termes de la première ligne horizontale, jusqu’au terme $P_{0,n}$ inclusivement ; d’où on peut conclure que si