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FIGURÉS.

${\begin{aligned}(1,n)-1&=(1,n-1),\\(2,n)-(1,n)&=(2,n-1),\\(3,n)-(2,n)&=(3,n-1),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\(m,n)-(m-1,n)&=(m,n-1),\\\end{aligned}}$

ajoutant ces dernières et réduisant, on aura

$(m,n)=(n,m)=(0,n-1)+(1,n-1)+(2,n-1)+\ldots +(m,n-1)\,;\quad$(9)

et l’on aurait pareillement

$(m,n)=(n,m)=(0,m-1)+(1,m-1)+(2,m-1)+\ldots +(n,m-1)\,;$

c’est-à-dire, que le $(n+1)^{me}$ nombre figuré du $m^{me}$ ordre, ou le $(m+1)^{me}$ nombre figuré du $n^{me}$ ordre, est égal à la somme des $n^{me}$ nombres figurés de tous les ordres jusqu’au $m^{me}$ ordre inclusivement ; ou encore à la somme des $m+1$ premiers nombres figurés du $(n-1)^{me}$ ordre.

Je terminerai par donner, d’après M. Lhuilier^[1], la sommation des inverses des nombres figurés. Il est aisé de se convaincre, par le développement et les réductions, que l’équation suivante est identique

${\frac {1}{(m,n-1)}}={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {m!}{(m+n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}.\qquad$(10)

Si l’on y substitue successivement pour $m$ les nombres $0,1,2,\ldots m,$ il viendra

${\begin{aligned}{\frac {1}{(0,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1}{(n-2)!}}-{\frac {1!}{(n-1)!}}\right\},\\{\frac {1}{(1,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1!}{(n-1)!}}-{\frac {2!}{n!}}\right\},\\{\frac {1}{(2,n-1)}}&={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {2!}{n!}}-{\frac {3!}{(n+1)!}}\right\},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

1. Voyez ses Élémens raisonnés d’algèbre.