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NOMBRES
§. II
Recherche des principales formules de la théorie des nombres
figurés.
Parce que
est une fonction symétrique des nombres
et
nous emploirons, à l’avenir, pour représenter cette fonction, la notation plus simple
![{\displaystyle A_{m,n}=(m,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1778ab3ee4451cc893a34724426ae63143e3a767)
En conséquence, nous aurons
![{\displaystyle (m,n)=(n,m),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f71c9d2f1dd1c3671e3c27c79ff4baa46ff971b8)
(6)
et, quels que soient
et ![{\displaystyle q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)
![{\displaystyle (0,p)=(0,q)=(p,0)=(q,0)=1.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb20c4bc9e16c1360f61a59e0719aeb3be46bbb9)
(7)
Cette notation admise, l’équation (3), dans laquelle on peut
permuter entre eux les nombres
et
donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}m(m,n)&=(m+n)(m-1,n),\\n(m,n)&=(m+n,n)(m,n-1)\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6440c2e3d679ad75ece7c762aed87bd8fdc9150f)
la somme de ces deux équations, divisée par
sera
![{\displaystyle (m,n)=(m-1,n)+(m,n-1)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206d649afdeb458ff4915ee3351eca139957fccc)
(8)
or, en se rappelant les équations (7), on voit que cette dernière
exprime la construction du triangle arithmétique ; et qu’ainsi
est la formule générale des nombres figurés.
L’équation (6) exprime donc que le
nombre figuré du
ordre est égal au
nombre figuré du
ordre ; et l’équation (8) exprime que le
nombre figuré du
ordre, ou le
nombre figuré du
ordre, est la somme du
nombre figuré du
ordre et du
nombre figuré du
ordre.
De cette dernière on tire
![{\displaystyle (m,n)-(m-1,n)=(m,n-1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30066522a53f76cadfa78f661971b462e1f77446)
substituant successivement pour
dans celle-ci, les nombres
il viendra