Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/125

117

FIGURÉS.

$m-2,m-3,\ldots$ 2,1, et remarquant que $A_{1,n}=n+1,$ il viendra

${\begin{aligned}mA_{m,n}&=(m+n)A_{m-1,n},\\(m-1)A_{m-1,n}&=(m+n-2)A_{m-2,n},\\(m-2)A_{m-2,n}&=(m+n-1)A_{m-3,n},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \\2A_{2,n}&=(n+2)A_{1,n},\\A_{1,n}&=(n+1)\,;\\\end{aligned}}$

ce qui donnera, en multipliant, supprimant les facteurs communs aux deux membres de l’équation produit, et tirant la valeur de $A_{m,n}$^[1],

$A_{m,n}={\frac {n+1}{1}}.{\frac {n+2}{2}}.{\frac {n+3}{3}}\ldots {\frac {n+m}{m}}\,;\qquad$(4)

formule qui résout le problème.

Cette solution, la plus simple que je connaisse, m’a été communiquée par M. G. Fornier, élève très-distingué du lycée de Nismes.

Si l’on multiplie, haut et bas, la valeur de $A_{m,n}$ par $1.2.3\ldots n,$ elle devient

$A_{m,n}={\frac {1.2.3\ldots (m+n)}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n}}\,;$

ou, en adoptant les notations de M. Kramp^[2]

$A_{m,n}={\frac {(m+n)!}{m!n!}}.$

On voit alors que $A_{m,n}$ est une fonction symétrique de $m$ et $n$, et qu’ainsi on doit avoir

$A_{m,n}=A_{n,m}\,;\qquad$(5)

ce qui revient à dire qu’il y a autant de termes dans une équation complète du n.^me degré entre $m$ inconnues qu’il y en a dans une équation complète du m.^me degré entre $n$ inconnues.

1. Voyez la note de la page 200 du second volume de ce recueil.
2. Voyez la note de la page 1.^re du 3.^e volume de ce recueil.