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NOMBRES

qui ne changera rien à la nature du problème. L’équation proposée devant renfermer tous les termes de l’équation complète du $(m-1)^{me}$ degré, entre $n$ inconnues, plus la totalité des termes du $m^{me}$ ordre, entre les mêmes inconnues ; en désignant par $\nu$ le nombre de ces derniers, on devra avoir l’équation

$A_{m,n}=A_{m-1,n}+\nu .\qquad$(1)

Il s’agit présentement de déterminer $\nu .$

Pour cela, concevons que l’on multiplie chacun des termes d’ordres inférieurs à $m$ par une somme de puissances semblables des $n$ inconnues, dont les exposans soient tels que ces multiplications donnent toutes des produits de l’ordre $m$ : ce qui exigera que l’on multiplie le terme tout connu $1$ par $x^{m}+y^{m}+z^{m}+\ldots ,$ l’ensemble des termes du premier ordre par $x^{m-1}+y^{m-1}+z^{m-1}+\ldots$, et ainsi de suite ; il est clair que le nombre total des termes de ces produits, abstraction faite de toute réduction, sera $nA_{m-1,n}$.

Or, je dis que ces mêmes termes ne seront autre chose que les termes du $m.^{me}$ ordre de la proposée, écrits chacun $m$ fois. En effet, en représentant généralement l’un de ces derniers par $x^{\alpha }y^{\beta }z^{\gamma }\ldots ,$ avec la condition $\alpha +\beta +\gamma +\ldots ,$ on voit qu’il aura été formé autant de fois qu’il y a de manières de diminuer successivement chacun de ses exposans de toutes les unités qu’il renferme ; c’est-à-dire, de $m$ manières différentes.

On a donc, d’après cela

$nA_{m-1,n}=m\nu ,\qquad {\text{d’où}}\qquad \nu ={\frac {n}{m}}A_{m-1,n}\,;\qquad$(2)

et par conséquent (1)

$A_{m,n}=A_{m-1,n}+{\frac {n}{m}}A_{m-1,n}={\frac {m+n}{m}}A_{m-1,n}\,;$

ou enfin

$mA_{m,n}=(m+n)A_{m-1,n}.\qquad$(3)

En changeant successivement, dans cette équation, $m$ en $m-1,$