la condition d’égalité des racines de l’équation en on trouvera que les quarrés des longueurs des demi-diamètres principaux sont déterminés par l’équation
De semblables considérations pourraient être appliquées à la recherche des longueurs des diamètres principaux, dans les surfaces du second ordre qui ont un centre.
Généralement, on peut parvenir aux équations qui déterminent les diamètres principaux, soit dans les lignes soit dans les surfaces du second ordre, en partant d’une propriété quelconque qui ne puisse convenir qu’à eux seuls ; ainsi la propriété des maximis et minimis dont ils jouissent exclusivement se prête très-aisément à cet usage, et c’est d’elle, en effet, que M. Bérard est parti, pour parvenir aux formules dont la recherche a fait le sujet du présent mémoire et de l’autre que nous avons déjà rappelé. Mais, nous ferons à ce sujet la remarque que voici : c’est que, comme on ne démontre les propriétés des lignes et surfaces du second ordre, relatives à leurs diamètres principaux, qu’après avoir ramené leurs équations aux formes respectives
il s’ensuit qu’on ne peut employer ces propriétés, dans la recherche de qu’après avoir démontré, a priori, que ces équations donnent toutes les lignes et surfaces de cet ordre qui ont un centre. Les démonstrations des mêmes formules, par MM. Monge et Hachette, qui se trouvent dans la Correspondance sur l’école-polytechnique (2.e vol., n.o 5, janvier 1812), sont aussi sujettes aux mêmes inconvéniens. Il me paraît donc plus convenable et plus direct d’établir d’abord, par la transformation des coordonnées, les équations qui font connaître la situation et la grandeur des demi-diamètres principaux ; et c’est ce que j’ai cherché à faire, dans ce mémoire, de la manière la plus simple, et en même temps la plus générale.
