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DU SECOND ORDRE.
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&m^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -2np(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma )\\+&n^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta -2pm(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha )\\+&p^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -2mn(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta )\\\end{aligned}}\right\}\quad T^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5f238867321b98783b493bc52a9fa8b1d8b8b5)
![{\displaystyle =1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5794ca62764d68978684772aa5308e8a18a6dd)
Cette équation donne la longueur d’une perpendiculaire abaissée de
l’origine des coordonnées sur le plan
![{\displaystyle mx+ny+pz=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea32dd3b5e46c404572676c5092797fe615a9f75)
et elle coïncide parfaitement avec l’équation (R) du §. V.
Nous terminerons, sur cette théorie, en observant que la méthode
que nous avons employée, pour les surfaces du second ordre, est
exactement applicable aux lignes du même ordre, rapportées à un
système primitif quelconque de coordonnées. Mais on peut, pour
ces lignes, obtenir de suite l’équation qui détermine les quarrés des
demi-diamètres principaux. En effet, soit posée l’équation
![{\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+2Cxy=D.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/088d0c02c55b41b479557d638ac1a9b4069f695e)
et soit
celle d’un diamètre de la courbe. Si l’on cherche
l’intersection du diamètre avec la courbe, puis la distance, de
l’origine à ce point d’intersection, en se rappelant la formule
![{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy\operatorname {Cos} .\gamma ,\qquad {\text{où}}\qquad \gamma =\operatorname {Ang} .(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8b06fc491cf8af0b2e8e220367c163c8058c10)
on aura l’équation
![{\displaystyle D\left(1+m^{2}+2m\operatorname {Cos} .\gamma \right)=r^{2}\left(Am^{2}+B+2Cm\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73f119c10b048a62adfbaf4f43fe31f47bfaecd)
ou
![{\displaystyle \left(Ar^{2}-D\right)m^{2}+2\left(Cr^{2}-D\operatorname {Cos} .\gamma \right)m+\left(Br^{2}-D\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049e96e523722fb81a1e2bfdb5bd5ace7d73be25)
qui sera telle qu’en donnant une valeur à
il en résultera deux
valeurs correspondantes pour
; c’est-à-dire, que, généralement,
il existe toujours deux diamètres de même longueur qui ont des directions différentes. Si maintenant on suppose que
désigne la longueur d’un demi-diamètre principal, alors les deux diamètres égaux
qui répondront à cette hypothèse se confondront en un seul ; les
valeurs correspondantes de
devront donc être égales. Écrivant donc