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DU SECOND ORDRE.

elle représente une surface cylindrique, deux plans parallèles ou une surface imaginaire.

Quatrième cas. Supposons 1.^o que la surface (1) soit sphérique ; il y a alors une infinité de systèmes de diamètres principaux ; et, comme les équations d’un diamètre principal sont

$x=ar,\qquad y=br,\qquad z=cr\,;$

il s’ensuit que $a,b,c$ seront quelconques. Exprimant donc que les équations (21) laissent $a,b,c$ indéterminés, on aura

$A=B=C=P$

$A'=P\operatorname {Cos} .\alpha ,\qquad B'=P\operatorname {Cos} .\beta ,\qquad C'=P\operatorname {Cos} .\gamma .$

2.^o Supposons que la surface soit simplement de révolution autour de l’un des axes, alors les équations (21) devront être les mêmes à un facteur près ; d’où l’on déduira les équations

${\frac {P-A}{P\operatorname {Cos} .\beta -B'}}={\frac {P\operatorname {Cos} .\gamma -C'}{P\operatorname {Cos} .\alpha -A'}}={\frac {P\operatorname {Cos} .\beta -B'}{P-C}},$

(24)

${\frac {P\operatorname {Cos} .\gamma -C'}{P\operatorname {Cos} .\beta -B'}}={\frac {P-B}{P\operatorname {Cos} .\alpha -A'}}={\frac {P\operatorname {Cos} .\alpha -A'}{P-C}},$

on trouvera la racine $P$ commune à ces équations par la théorie du plus grand commun diviseur. Égalant ensuite les valeurs de $P,$ on aura deux équations de condition, qui exprimeront, si elles ont lieu, que la surface proposée du second ordre est de révolution autour d’un axe.

On obtient aussi l’équation du plan qui coupe la surface de résolution suivant un cercle, en éliminant $a,b,c$ entre les équations (3) et l’une des équations (21) ; on a pour résultat

(25)$\qquad (P-A)x+(P\operatorname {Cos} .\gamma -C')y+(P\operatorname {Cos} .\beta -B')z=0.$

Pour donner un exemple de cette théorie, supposons

$\alpha =\beta =\gamma =$ un angle droit ;

les équations (24) et (25) deviendront