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SURFACES

pourra toujours faire disparaître les premières puissances de $x,y,z$ , dans l’équation (1), et par conséquent réduire l’équation (10) à la forme

Px'^{2}+P'y'^{2}+P''z'^{2}=H\,;

donc 1.^o on aura l’ellipsoïde, un point ou une surface imaginaire ; lorsque les racines de l’équation (22) seront toutes de même signe.

2.^o On obtiendra les hyperboloïdes à une ou à deux nappes, ou une surface conique, lorsque les racines de l’équation (21) ne seront pas toutes de mêmes signes.

Deuxième cas. Supposons que l’équation (22) ait une seule racine nulle ; l’équation (10) prend alors la forme

Px'^{2}+P'y'^{2}+P''z'^{2}+2Qx'+2Q'y'+2Q''z'+D=0\,;

donc 1.^o on aura le paraboloïde elliptique, ou une surface imaginaire, lorsque les deux racines de l’équation (22) seront de même signe, sans que $Q''$ soit zéro.

2.^o On aura le paraboloïde hyperbolique ou le système de deux plans, lorsque les deux seules racines effectives de l’équation (22) seront de signes contraires.

3.^o Dans le cas particulier ou $Q''=0,$ quels que soient d’ailleurs les signes des deux racines effectives de l’équation (22), la surface est un cylindre ; or, comme l’équation $Q''=0$ est satisfaite, lorsqu’en particulier on a $A''=0,B''=0,C''=0\,;$ il s’ensuit que l’équation

ABC-AA'^{2}-BB'^{2}-CC'^{2}+2A'B'C'=0,

suffit pour exprimer que la surface représentée par l’équation

Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'yz+2B'zx+2C'xy+D=0

est cylindrique. Il est remarquable que cette équation de condition est indépendante de $\alpha ,\beta ,\gamma .$

Troisième cas. Si deux des racines de l’équation (22) sont nulles, l’équation (10) prendra la forme

Px'^{2}+2Qx'+2Q'y'+2Q''z'+D=0\,;