Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/117

109

DU SECOND ORDRE.

$\left\{(P-A)(P-B)-(P\operatorname {Cos} .\gamma -C')^{2}\right\}{\frac {a}{c}}$

$+\left\{(P-B)(P\operatorname {Cos} .\beta -B')-(P\operatorname {Cos} .\alpha -A')(P\operatorname {Cos} .\gamma -C')\right\}=0,$

(23)

$\left\{(P-A)(P-B)-(P\operatorname {Cos} .\gamma -C')^{2}\right\}{\frac {b}{c}}$

$+\left\{(P-A)(P\operatorname {Cos} .\alpha -A')-(P\operatorname {Cos} .\beta -B')(P\operatorname {Cos} .\gamma -C')\right\}=0.$

Si l’on joint à ces deux équations l’équation (17), on aura tout ce qu’il faut pour déterminer $a,b,c$ ; et partant, on pourra calculer, dans l’équation (10), les coefficiens $Q,Q',Q''.$

Il est maintenant facile de conclure des équations précédentes, quelles modifications il faut y apporter, pour qu’elles fassent connaître les grandeurs des diamètres principaux, dans les surfaces du second ordre qui ont un centre. On sait en effet que, pour ces surfaces, si l’on transporte l’origine des coordonnées au centre, les termes affectés des premières puissances de $x,y,z$ disparaissent de son équation. Ainsi, l’équation (1), après y avoir fait disparaître les premières puissances de $x,y,z,$ deviendra

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'yz+2B'zx+2C'xy=H\,;$

d’où il suit que l’équation (10) prendra la forme

$Px'^{2}+P'y'^{2}+P''z'^{2}=H.$

Représentant donc par $T^{2}$ le quarré d’un demi-diamètre principal, on aura $T^{2}={\frac {H}{P}},$ d’où $P={\frac {H}{T^{2}}}$ ; substituant cette valeur de $P$ dans les équations (22) et (23), on trouvera les équations qui déterminent la situation et la grandeur des diamètres principaux. On doit observer, au surplus, que l’équation qui a pour racines les trois valeurs de $T^{2}$ a nécessairement ses racines réelles, comme nous l’avons déjà démontré, en faisant voir que $P,P',P''$ sont des quantités réelles. Nous discuterons ici quatre cas différens des surfaces du second ordre.

Premier cas. Si l’équation (22) n’a aucune racine nulle, on