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SURFACES

$(19){\begin{aligned}L(c+a\operatorname {Cos} .\beta +b\operatorname {Cos} .\alpha )&=L''(a+b\operatorname {Cos} .\gamma +c\operatorname {Cos} .\beta ),\\L'(c+a\operatorname {Cos} .\beta +b\operatorname {Cos} .\alpha )&=L''(b+c\operatorname {Cos} .\alpha +a\operatorname {Cos} .\gamma ),\\La+L'b+L''c&=P.\\\end{aligned}}$

Si l’on chasse successivement de ces équations deux des trois quantités $L,L',L'',$ en ayant égard à l’équation (17), il viendra

(20)$\qquad {\begin{aligned}L&=P(a+b\operatorname {Cos} .\gamma +c\operatorname {Cos} .\beta ),\\L'&=P(b+c\operatorname {Cos} .\alpha +a\operatorname {Cos} .\gamma ),\\L''&=P(c+a\operatorname {Cos} .\beta +b\operatorname {Cos} .\alpha ),\\\end{aligned}}$

et, en comparant aux équations (18).

(21)$\qquad {\begin{aligned}&(P-A)a+(P\operatorname {Cos} .\gamma -C')b+(P\operatorname {Cos} .\beta -B')c=0,\\&(P-B)b+(P\operatorname {Cos} .\alpha -A')c+(P\operatorname {Cos} .\gamma -C')a=0,\\&(P-C)c+(P\operatorname {Cos} .\beta -B')a+(P\operatorname {Cos} .\alpha -A')b=0.\\\end{aligned}}$

Éliminant $a$ et $b,$ entre ces équations, $c$ disparaîtra de lui-même, et il viendra

$(P-A)(P-B)(P-C)+(P\operatorname {Cos} .\alpha -A')(P\operatorname {Cos} .\beta -B')(P\operatorname {Cos} .\gamma -C')$

$+(P-A)(P\operatorname {Cos} .\alpha -A')^{2}+(P-B)(P\operatorname {Cos} .\beta -B')^{2}+(P-C)(P\operatorname {Cos} .\gamma -C')^{2}=0,$

ou, en développant et ordonnant

$(1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma )P^{3}$

$+\left\{{\begin{aligned}&A\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -2A'(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma )\\+&B\operatorname {Sin} .^{2}\beta -2B'(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha )\\+&C\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -2C'(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta )\\\end{aligned}}\right\}\quad P^{2}$

(22)

$+\left\{{\begin{aligned}&BC-A'^{2}+2(B'C'-AA')\operatorname {Cos} .\alpha \\+&CA-B'^{2}+2(C'A'-BB')\operatorname {Cos} .\beta \\+&AB-C'^{2}+2(A'B'-CC')\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}\quad P$

$-\left(ABC-AA'^{2}-BB'^{2}-CC'^{2}+2A'B'C'\right)=0\,;$

et les quantités ${\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}$ seront déterminées par les équations