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DU SECOND ORDRE.

coefficiens $P,P',P''$ de l’équation (10). À cet effet, écrivons les résultats des substitutions des valeurs (2) dans l’équation (1), en ayant égard aux équations (6), (7), (8) ; nous trouverons

$\left.{\begin{aligned}&(Aa^{2}+Bb^{2}+Cc^{2}+2A'bc+2B'ca+2C'ab)x'^{2}\\+&(Aa'^{2}+Bb'^{2}+Cc'^{2}+2A'b'c'+2B'c'a'+2C'a'b')y'^{2}\\+&(Aa''^{2}+Bb''^{2}+Cc''^{2}+2A'b''c''+2B'c''a''+2C'a''b'')z'^{2}\\+&(2Qx'+2Q'y'+2Q''z'+D)\\\end{aligned}}\right\}=0.$

et partant

(13)$\qquad P''=Aa''^{2}+Bb''^{2}+Cc''^{2}+2A'b''c''+2B'c''a''+2C'a''b''\,;$

si donc on élimine $a'',b'',c''$ des équations (11), (13) et de l’équation de relation formée d’après l’équation (S) du §. V, on trouvera l’équation qui doit déterminer $P''$ ; mais, comme ces équations, ont lieu, de la même manière, en changeant $a'',b'',c'',P''$ en $a',b',c',P'$ ou en $a,b,c,P,$ il s’ensuit que $P,P',P''$ sont donnés par une même équation du troisième degré.

Il s’agit donc actuellement d’effectuer le calcul qui vient d’être indiqué ; mais auparavant débarrassons $a,b,c$ des accens qui les affectent dans les équations (11) et (13), et joignons-y l’équation (S), ce qui donnera

${\begin{aligned}{\text{(14)}}&\ (Aa+B'c+C'b)(c+a\operatorname {Cos} .\beta +b\operatorname {Cos} .\alpha )=(Cc+A'b+B'a)(a+b\operatorname {Cos} .\gamma +c\operatorname {Cos} .\beta ),\\{\text{(15)}}&\ (Bb+C'a+A'c)(c+a\operatorname {Cos} .\beta +b\operatorname {Cos} .\alpha )=(Cc+A'b+B'a)(b+c\operatorname {Cos} .\alpha +a\operatorname {Cos} .\gamma ),\\{\text{(16)}}&\ Aa^{2}+Bb^{2}+Cc^{2}+2A'bc+2B'ca+2C'ab=P,\\{\text{(17)}}&\ a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc\operatorname {Cos} .\alpha +2ca\operatorname {Cos} .\beta +2ab\operatorname {Cos} .\gamma =1.\\\end{aligned}}$

Posons ensuite

(18)$\qquad {\begin{aligned}Aa+B'c+C'b&=L,\\Bb+C'a+A'c&=L',\\Cc+A'b+B'a&=L''\,;\\\end{aligned}}$

les trois premières deviendront alors