dans lesquelles renfermeront mais où ne seront fonctions que de et des coefficiens de l’équation (1).
Or, comme toute équation du troisième degré a toujours au moins une racine réelle, il s’ensuit qu’il existe, pour toutes les surfaces du second ordre, un axe des , perpendiculaire à un plan des de manière que l’équation générale de ces surfaces ne renferme plus les rectangles ; et, comme on peut toujours chasser le rectangle qui reste encore dans l’équation, on en conclut que, non seulement on trouve un axe des perpendiculaire au plan des qui prive la nouvelle équation des rectangles mais encore qu’il existe un axe des perpendiculaire au plan des et un axe des perpendiculaire au plan des jouissant des mêmes propriétés. Or, si l’on écrit que l’axe (4) des est perpendiculaire au plan
qui contient les axes des et on parviendra aux mêmes équations (11), en y changeant en ; d’où il suit que les équations (11) déterminent et en même temps que ; on prouvera de même que le troisième système de racines, tiré des équations (12), est .
Il résulte de ce qui précède que, dans le cas où les axes qui doivent priver l’équation de la surface des trois rectangles doivent être rectangulaires, leur direction est absolument déterminée et unique, et qu’alors les coefficiens de l’équation (10) sont réels et déterminés.
Il reste présentement à faire connaître, pour les surfaces du second ordre qui ont un centre, l’équation qui détermine les grandeurs des diamètres principaux. La chose se réduit à calculer les
