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SURFACES
§. VIII. Recherche des diamètres principaux dans les surfaces
du seconde ordre, rapportées à des axes quelconques.
Reprenons l’équation générale des surfaces du second ordre
(1)![{\displaystyle \ Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'yz+2B'zx+2C'xy+2A''x+2B''y+2C''z+D=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4efc6b8df74509c9e233c02fc56100931e4cc27)
Nous avons déjà dit que, pour passer du système des coordonnées
au système des coordonnées
de même origine
que celui-là, il fallait poser
(2)
![{\displaystyle \qquad {\begin{aligned}x&=ax'+a'y'+a''z',\\y&=bx'+b'y'+b''z',\\z&=cx'+c'y'+c''z',\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2d64384cfa08a38d7379201cbda47b19270530)
et qu’alors les équations des axes des
rapportés au
système primitif, étaient respectivement
![{\displaystyle {\begin{array}{lrrr}{\text{(3)}}&x=ar,&\qquad y=br,&\qquad z=cr\,;\\{\text{(4)}}&x=a'r,&\qquad y=b'r,&\qquad z=c'r,\\{\text{(5)}}&x=a''r,&\qquad y=b''r,&\qquad z=c''r.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68967ab859776866c5f8405e02be3e7c8f4e6b57)
Si l’on substitue les valeurs (2) dans l’équation (1), on obtiendra
une transformée, du même degré en
que l’on pourra ensuite simplifier, en disposant des quantités arbitraires qui déterminent les directions des nouveaux axes.
Faisant donc disparaître, tous les rectangles des coordonnées, nous
aurons les équations
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\text{(6)}}\ (Aa''+B'c''+C'b'')a'+(Bb''+C'a''+A'c'')b'+(Cc''+A'b''+B'a'')c'&=0,\\{\text{(7)}}\ (Aa''+B'c''+C'b'')a+(Bb''+C'a''+A'c'')b+(Cc''+A'b''+B'a'')c&=0,\\{\text{(8)}}\ (Aa'+B'c'+C'b')a+(Bb'+C'a'+A'c')b+(Cc'+A'b'+B'a')c&=0.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2a53fbc8ac8903f92700ba7ec135f0e6dae951)
Cela posé, en éliminant
entre les équations (3) et l’équation (7), on tombera sur l’équation d’un plan
(9)![{\displaystyle \ (Aa''+B'c''+C'b'')x+(Bb''+C'a''+A'c'')y+(Cc''+A'b''+B'a'')z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f90d401f84421d67a490ac2bdee84b28be7fb3b)
tel que, l’axe des
y étant situé, d’une manière quelconque,
l’équation de la surface du second ordre se trouvera délivrée du terme