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DU SECOND ORDRE.

Généralement, on peut trouver le cosinus de l’angle formé par les deux droites

${\begin{array}{lll}x=ar,&y=br,&z=cr\,;\\x'=a'r',&y'=b'r',&z'=c'r'.\\\end{array}}$

car, en joignant les extrémités des distances $r,r'$ par une droite, et appelant $\theta$ l’angle cherché, la longueur de cette droite aura d’un côté pour expression

$r^{2}+r'^{2}-2rr'\operatorname {Cos} .\theta ,$

et de l’autre, par le §. IV,

$(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+2(z-z')^{2}+2(y-y')(z-z')\operatorname {Cos} .\alpha$

$+2(z-z')(x-x')\operatorname {Cos} .\beta +2(x-x')(y-y')\operatorname {Cos} .\gamma$

ou, en substituant,

$\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc\operatorname {Cos} .\alpha +2ca\operatorname {Cos} .\beta +2ab\operatorname {Cos} .\gamma \right)r^{2}$

$+\left(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}+2b'c'\operatorname {Cos} .\alpha +2c'a'\operatorname {Cos} .\beta +2a'b'\operatorname {Cos} .\gamma \right)r'^{2}$

$-2\left\{aa'+bb'+cc'+(bc'+cb')\operatorname {Cos} .\alpha +(ca'+ac')\operatorname {Cos} .\beta +(ab'+ba')\operatorname {Cos} .\gamma \right\}rr'\,;$

égalant donc cette expression à la première, et exprimant que leur égalité laisse $r,r'$ indéterminés et indépendans, on obtiendra d’abord les deux relations déjà connues

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc\operatorname {Cos} .\alpha +2ca\operatorname {Cos} .\beta +2ab\operatorname {Cos} .\gamma =1,$

$a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}+2b'c'\operatorname {Cos} .\alpha +2c'a'\operatorname {Cos} .\beta +2a'b'\operatorname {Cos} .\gamma =1,$

et ensuite la formule

(Y)$\qquad \operatorname {Cos} .\theta =\left\{{\begin{aligned}&aa'+(bc'+cb')\operatorname {Cos} .\alpha \\+&bb'+(ca'+ac')\operatorname {Cos} .\beta \\+&cc'+(ab'+ba')\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right.$

Au moyen de cette formule il sera facile de déterminer, soit le sinus de l’angle de deux droites, soit les sinus et cosinus de l’angle de deux plans, ou de l’angle d’une droite et d’un plan.