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SURFACES

$x'=ar,\qquad y'=br,\qquad z'=cr,$

$x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}+2y'z'\operatorname {Cos} .\alpha +2z'x'\operatorname {Cos} .\beta +2x'y'\operatorname {Cos} .\gamma =r^{2}.$

En éliminant $x',y',z'$ entre ces équations, il viendra

${\begin{aligned}D(a+b\operatorname {Cos} .\gamma +c\operatorname {Cos} .\beta )&=Ar,\\D(b+c\operatorname {Cos} .\alpha +a\operatorname {Cos} .\gamma )&=Br,\\D(c+a\operatorname {Cos} .\beta +b\operatorname {Cos} .\alpha )&=Cr,\\\end{aligned}}$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc\operatorname {Cos} .\alpha +2ca\operatorname {Cos} .\beta +2ab\operatorname {Cos} .\gamma =1.$

En éliminant $r$ entre les trois premières équations, on obtiendra les deux suivantes

(Q)$\qquad {\begin{aligned}A(c+b\operatorname {Cos} .\alpha +a\operatorname {Cos} .\beta )&=C(a+b\operatorname {Cos} .\gamma +c\operatorname {Cos} .\beta ),\\B(c+b\operatorname {Cos} .\alpha +a\operatorname {Cos} .\beta )&=C(b+c\operatorname {Cos} .\alpha +a\operatorname {Cos} .\gamma ),\\\end{aligned}}$

lesquelles expriment que le plan (O) et la droite (P) sont perpendiculaires l’un à l’autre.

Si, entre toutes quatre, on élimine $a,b,c,$ la longueur $r$ de la perpendiculaire abaissée de l’origine sur le plan (O) se trouvera donnée par l’équation

$({\text{R}})\left\{{\begin{aligned}&A^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -2BC(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma )\\+&B^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta -2CA(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha )\\+&C^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -2AB(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta )\\\end{aligned}}\right\}{\begin{aligned}r^{2}=&\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma \right.\\&\left.+2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \right)D^{2}.\\\end{aligned}}$

Si le point duquel on veut abaisser une perpendiculaire sur le plan (O) a pour ses coordonnées $x',y',z',$ il suffira de transporter l’origine en ce point ; ce qui reviendra à changer $x,y,z$ en $x+x',y+y',z+z',$ respectivement, ce qui donnera, pour la nouvelle équation du plan.

$Ax+By+Cz+(Ax'+By'+Cz'-D)=0,$

et partant, pour la longueur de la perpendiculaire, celle qu’on déduirait de l’équation (R), en y changeant simplement $D$ en $Ax'+By'+Cz'-D.$