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DU SECOND ORDRE.

(M)$\qquad \left.{\begin{aligned}&(x-x')^{2}+2(y-y')(z-z')\operatorname {Cos} .\alpha \\&(y-y')^{2}+2(z-z')(x-x')\operatorname {Cos} .\beta \\&(z-z')^{2}+2(x-x')(y-y')\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}=r^{2}.$

Si, dans l’équation (G), on fait

${\begin{array}{rrr}A'=\operatorname {Cos} .\alpha ,&A''=0,&\\B'=\operatorname {Cos} .\beta ,&B''=0,&D=-r^{2}\\C'=\operatorname {Cos} .\gamma ;&C''=0,&\\\end{array}}$

elle deviendra celle du plan tangent à la sphère qui a son centra à l’origine. Ainsi $x',y',z'$ étant les coordonnées du point de contact, l’équation de ce plan tangent est

(N)$\ (x'+y'\operatorname {Cos} .\gamma +z'\operatorname {Cos} .\beta )x+(y'+z'\operatorname {Cos} .\alpha +x'\operatorname {Cos} .\gamma )y$

$+(z'+x'\operatorname {Cos} .\beta +y'\operatorname {Cos} .\alpha )z=r^{2}.$

§. V. De la perpendiculaire à un plan.

Soit

(O)$\qquad Ax+By+Cz=D,$

l’équation d’un plan, et soient

(P)$\qquad x=ar,\qquad y=br,\qquad z=cr,$

les équations de la perpendiculaire abaissée de l’origine sur ce plan. Si l’on conçoit une sphère ayant l’origine pour centre et cette perpendiculaire pour rayon, le plan (O) devra lui être tangent ; et, en désignant par $x',y',z'$ les coordonnées du point de contact, les équations (N) et (O) devront coïncider, à un facteur près, pouvant affecter tous les termes de l’une d’elles. Exprimant donc que leur coïncidence a lieu, il viendra

${\begin{aligned}D(x'+y'\operatorname {Cos} .\gamma +z'\operatorname {Cos} .\beta )&=Ar^{2},\\D(y'+z'\operatorname {Cos} .\alpha +x'\operatorname {Cos} .\gamma )&=Br^{2},\\D(z'+x'\operatorname {Cos} .\beta +y'\operatorname {Cos} .\alpha )&=Cr^{2}\,;\\\end{aligned}}$

mais, comme le point de contact doit se trouver, à la fois, sur la droite (P) et sur la sphère, on doit avoir