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SURFACES

$\left.{\begin{array}{lll}&\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)x'^{2}&+2(a'a''+b'b''+c'c'')y'z'\\&\left(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}\right)y'^{2}&+2(a''a+b''b+c''c)z'x'\\&\left(a''^{2}+b''^{2}+c''^{2}\right)z'^{2}&+2(aa'+bb'+cc')x'y'\\\end{array}}\right\}=r^{2}$

si, dans cette dernière équation, on fait successivement les trois hypothèses $x'=0,y'=0,z'=0,$ on obtiendra pour les équations des traces de la sphère sur les trois plans coordonnés

${\begin{array}{llll}\left(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}\right)y'^{2}&+\left(a''^{2}+b''^{2}+c''^{2}\right)z'^{2}&+2(a'a''+b'b''+c'c'')y'z'&=r^{2},\\\left(a''^{2}+b''^{2}+c''^{2}\right)z'^{2}&+\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)x'^{2}&+2(a''a+b''b+c''c)z'x'&=r^{2},\\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)x'^{2}&+\left(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}\right)y'^{2}&+2(aa'+bb'+cc')x'y'&=r^{2}\,;\\\end{array}}$

mais on sait d’ailleurs que, $\alpha ,\beta ,\gamma$ désignant les angles des coordonnées $x',y',z',$ les équations de ces traces doivent être

$y'^{2}+z'^{2}+2y'z'\operatorname {Cos} .\alpha =r^{2},$

$z'^{2}+x'^{2}+2z'x'\operatorname {Cos} .\beta =r^{2},$

$x'^{2}+y'^{2}+2x'y'\operatorname {Cos} .\gamma =r^{2}\,;$

comparant donc respectivement ces équations aux précédentes, il viendra

${\begin{array}{llll}&a^{2}+b^{2}+c^{2}&=1,&\qquad a'a''+b'b''+c'c''&=\operatorname {Cos} .\alpha ,\\&a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}&=1,&\qquad a''a+b''b+c''c&=\operatorname {Cos} .\beta ,\\&a''^{2}+b''^{2}+c''^{2}&=1,&\qquad aa'+bb'+cc'&=\operatorname {Cos} .\gamma \,;\\\end{array}}$

et conséquemment l’équation de la sphère rapportée à des coordonnées obliques sera

(L)$\qquad x^{2}+y^{2}+z^{2}+2yz\operatorname {Cos} .\alpha +2zx\operatorname {Cos} .\beta +2xy\operatorname {Cos} .\gamma =r^{2}.$

Cette équation donne aussi la distance $r$ de l’origine à un point dont les coordonnées sont $x,y,z$.

Si le centre, au lieu d’être situé à l’origine, se trouvait en un point ayant pour ses coordonnées $x',y',z',$ l’équation de la sphère deviendrait