Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/99

95

CORRESPONDANCE.

$\left.{\begin{aligned}\alpha &=\phi (A,B,\ldots \beta ),\\\alpha '&=\phi '(A,B,\ldots \beta '),\\\alpha ''&=\phi ''(A,B,\ldots \beta ''),\\&\ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}(a)$

les fonctions indiquées par $\phi ,\phi '\phi '',\ldots$ sont les mêmes ; ce qui, ce me semble, peut se faire, assez simplement, de la manière suivante.

En mettant successivement $\alpha$ et $\beta ,\quad \alpha '$ et $\beta '',\quad \alpha ''$ et $\beta '',\ldots ,$ à la place de $x$ et $y,$ dans l’équation $y=Ax^{n}+Bx^{n-1}+\ldots ,$

il vient

$\left.{\begin{aligned}\beta &=A\alpha ^{n}+B\alpha ^{n-1}+\ldots ,\\\beta '&=A\alpha '^{n}+B\alpha '^{n-1}+\ldots ,\\\beta ''&=A\alpha ''^{n}+B\alpha ''^{n-1}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}(b)$

Or, puisqu’il faut faire les mêmes opérations sur $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$ pour obtenir les valeurs respectives de $\beta ,\beta ',\beta '',\ldots$ et que les coefficiens $A,B,\ldots$ sont combinés d’une même manière dans toutes ces équations avec $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$ il est clair que, si l’on met la première des équations (b) sous la forme

$\beta =F(A,B,\ldots \alpha ),$

on pourra mettre les suivantes sous les formes respectives

$\beta '=F(A,B,\ldots \alpha '),$

$\beta ''=F(A,B,\ldots \alpha ''),$

$\ldots \ldots \ldots \,;$