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NUMÉRIQUES.

$1^{m|1}=1.2.3\ldots \ldots$ m

ou à cette autre forme plus simple

$m!,$

si l’on veut adopter la notation dont j’ai fait usage dans mes Élémens d’arithmétique universelle, n.^o 289.

On a, en effet

$a^{m|r}=a(a+r)(a+2r)\ldots \left[a+(m-1)r\right]\qquad \qquad \ \$

$=r^{m}.{\frac {a}{r}}({\frac {a}{r}}+1)({\frac {a}{r}}+2)\ldots \left[{\frac {a}{r}}+(m-1)\right]$

$=r^{m}.{\frac {1.2.3\ldots \left({\frac {a}{r}}-1\right){\frac {a}{r}}\ldots \left[{\frac {a}{r}}+(m-1)\right]}{1.2.3\ldots \left({\frac {a}{r}}-1\right)}}$

$={\frac {\left[{\frac {a}{r}}+(m-1)\right]!}{\left({\frac {a}{r}}-1\right)!}}r^{m}.\qquad \qquad \qquad \qquad \ \$

et

$a^{m|-r}=a(a-r)(a-2r)(a-3r)\ldots \left[a-(m-1)r\right]\qquad$

$=r^{m}.{\frac {a}{r}}({\frac {a}{r}}-1)({\frac {a}{r}}-2)\ldots \left[{\frac {a}{r}}-(m-1)\right]$

Nous terminerons par un rapprochement entre les notations de Vandermonde et celle de M. Kramp. Vandermonde fait
$a(a-1)(a-2)\ldots \left(a-m+1\right)=[a{\overset {m}{]}},$

d’où il suit qu’en rapprochant les deux notations, on a,

$[a{\overset {m}{]}}=\left(a-m+1\right)^{m|1}=a^{m|-1}.$

Si, après avoir changé $a$ en $a',$ on pose $a'-m+1=a,$ d’où $a'=a+m-1,$ on obtiendra cet autre rapprochement

$[a+m-1{\overset {m}{]}}=a^{m|1}=(a+m-1)^{m|-1}.$

Toutes les facultés pouvant être exprimées en fonction d’autres facultés dans lesquelles la base et la différence sont également l’unité, et ces dernières devant, en conséquence, se représenter fréquemment dans les calculs ; M. Kramp, dans son Arithmétique universelle, a proposé de les écrire simplement comme il suit ;

$1.2.3.4\ldots m=1^{m|1}=m!.$
J. D. G.