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RÉSOLUES.

toutes celles dont le plus petit numéro est 1, dans le second toutes celles dont le plus petit numéro est 2, dans le troisième toutes celles dont le plus petit numéro est 3, et ainsi de suite. Les choses ainsi entendues, voici comment ils procèdent.

1.^o Il est d’abord évident que, s’il ne doit sortir qu’un seul numéro à chaque tirage, le nombre des chances favorables sera le nombre total des chances, c’est-à-dire, $m$ ou ${\frac {m}{1}}.$

2.^o S’il doit sortir deux numéros à chaque tirage, celles des chances favorables dont le plus petit numéro sera 1, ne pourront être complétées que par quelqu’un des $m-2$ numéros 3, 4, 5,… $m$ ; le nombre de ces chances sera donc $m-2.$

Celles des chances favorables dont le plus petit numéro sera 2, ne pourront être complétées que par quelqu’un des $m-3$ numéros 4, 5, 6,… $m$ ; le nombre de ces chances sera donc $m-3.$

Celles des chances favorables dont le plus petit numéro sera 3, ne pourront être complétées que par quelqu’un des $m-4$ numéros 5, 6, 7,… $m$ ; le nombre de ces chances sera donc $m-4.$

Et ainsi de suite, jusqu’à la chance favorable dont le plus petit numéro sera $m-2,$ laquelle sera unique : attendu qu’elle ne pourra être complétée que par le seul numéro $m.$

Ainsi, dans le cas de $n=2,$ le nombre total des chances favorables sera

$(m-2)+(m-3)+(m-4)+\ldots +2+1={\frac {m-2}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\,;$

c’est-à-dire, le $(m-2)^{me}$ nombre triangulaire.

3.^o S’il doit sortir trois numéros à chaque tirage, celles des chances favorables dont le plus petit numéro sera 1, ne pourront être complétées que par celles des combinaisons deux à deux des $m-2,$ numéros 3, 4, 5,… $m$ qui ne présentent point de nombres consécutifs, et dont le nombre est, par ce qui précède,

${\frac {(m-2)-2}{1}}.{\frac {(m-2)-1}{2}}$ ou ${\frac {m-4}{1}}.{\frac {m-3}{2}}.$