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QUESTIONS

${\begin{aligned}+&\left\{{\frac {m-4}{1}}.{\frac {m-5}{2}}+{\frac {m-5}{1}}.{\frac {m-6}{2}}+{\frac {m-6}{1}}.{\frac {m-7}{2}}\right\}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\left\{\qquad \quad 6\qquad \quad +\qquad \quad 3\qquad \quad +\qquad \quad 1\qquad \quad \right\}\\+&\left\{\qquad \quad 3\qquad \quad +\qquad \quad 1\qquad \quad +\qquad \quad 0\qquad \quad \right\}\\+&\left\{\qquad \quad 1\qquad \quad +\qquad \quad 0\qquad \quad +\qquad \quad 0\qquad \quad \right\}\\\end{aligned}}$

$=\left\{{\tfrac {m-2}{1}}.{\tfrac {m-3}{2}}+{\tfrac {m-3}{1}}.{\tfrac {m-4}{2}}+{\tfrac {m-4}{1}}.{\tfrac {m-5}{2}}+,\ldots +6+3+1\right\}$

$+\left\{{\tfrac {m-3}{1}}.{\tfrac {m-4}{2}}+{\tfrac {m-4}{1}}.{\tfrac {m-5}{2}}+{\tfrac {m-5}{1}}.{\tfrac {m-6}{2}}+\ldots +6+3+1\right\}$ $+\left\{{\tfrac {m-4}{1}}.{\tfrac {m-5}{2}}+{\tfrac {m-5}{1}}.{\tfrac {m-6}{2}}+{\tfrac {m-6}{1}}.{\tfrac {m-7}{2}}+\ldots +6+3+1\right\}$

$={\tfrac {m-1}{1}}.{\tfrac {m-2}{2}}.{\tfrac {m-3}{3}}+{\tfrac {m-2}{1}}.{\tfrac {m-3}{2}}.{\tfrac {m-4}{3}}+{\tfrac {m-3}{1}}.{\tfrac {m-4}{2}}.{\tfrac {m-5}{3}}$ $={\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.{\tfrac {m-2}{3}}.{\tfrac {m-3}{4}}-{\tfrac {m-3}{1}}.{\tfrac {m-4}{2}}.{\tfrac {m-5}{3}}.{\tfrac {m-6}{4}}.$

M. Lhuilier applique encore ce raisonnement au cas où $n=5$ et, à raison de la marche uniforme du procédé, il est conduit à considérer le nombre des tirages de $n$ numéros qui présentent des ambes consécutifs comme étant la différence entre le $(m-n+1)^{me}$ et le $(m-2n+2)^{me}$ nombres figurés du $n^{me}$ ordre. Or, comme le premier de ces deux nombres figurés exprime le nombre total des tirages de $n-1$ numéros, il en résulte que le dernier représente le nombre de ceux d’entre eux qui n’ont point d’ambes successifs.

M. Lhuilier observe, au surplus, que l’on pourrait s’assurer d’une manière rigoureuse de l’exactitude de ce résultat, par le raisonnement connu qui consiste à prouver que, si ce résultat est exact, pour des tirages de $n-1$ numéros, il doit l’être aussi pour des tirages de $n$ numéros.

MM. Tédenat, Encontre, le Grand et Rochat ont au contraire cherché à calculer directement le nombre des chances favorables. Pour parvenir à leur but, ils supposent qu’on a fait des chances de cette sorte divers groupes, en plaçant dans le premier groupe