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RÉSOLUES.

on aura alors

${\begin{aligned}S_{p}&={\tfrac {1}{p+1}}(m-1)(m)(m+1)\ldots (m+p-2)(m+p-1)+m(m+1)(m+2)\ldots (m+p-1),\\{\text{ou }}S_{p}&={\tfrac {1}{p+1}}m(m+1)(m+2)\ldots (m+p-1)\left\{(m-1)+(p+1)\right\},\\{\text{ou }}S_{p}&={\tfrac {1}{p+1}}m(m+1)(m+2)\ldots (m+p-1)(m+p).\\\end{aligned}}$

Il est donc prouvé par là que cette formule serait vraie pour les $m$ premiers termes de la suite, si elle était vraie pour ses $m-1$ premiers termes ; or, il est aisé de se convaincre qu’elle est vraie pour les deux premiers ; car on a

$1.2.3\ldots p+2.3.4\ldots p+1+=2.3.4\ldots p\left[1+(p+1)\right]$

$={\frac {1}{p+1}}2.3.4\ldots p(p+1)(p+2)\,;$

ainsi l’expression de $S_{p}$ est exacte, et il en doit être de même de celles de $S_{1},S_{2},S_{3},\ldots$ qui n’en sont que des cas particuliers.

Il résulte aussi de là qu’on doit avoir

${\begin{aligned}{\frac {m-2}{1}}+{\frac {m-3}{1}}+{\frac {m-4}{1}}+\ldots +3+2+1&={\frac {m-1}{1}}.{\frac {m-2}{2}},\\{\frac {m-3}{1}}.{\frac {m-4}{2}}+{\frac {m-4}{1}}.{\frac {m-5}{2}}+\ldots +6+3+1&={\frac {m-1}{1}}.{\frac {m-3}{2}}.{\frac {m-4}{3}},\\{\frac {m-4}{1}}.{\frac {m-5}{2}}.{\frac {m-6}{3}}+{\frac {m-5}{1}}.{\frac {m-6}{2}}.{\frac {m-7}{3}}+\ldots +10+4+1&={\frac {m-1}{1}}.{\frac {m-4}{2}}.{\frac {m-5}{3}}.{\frac {m-6}{4}}.\\\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Je passe présentement à la question proposée. Comme il est connu que, lorsqu’un événement dépend de quelques chances, comprises parmi plusieurs autres, toutes également possibles, la probabilité de cet événement est exprimée par une fraction dont le numérateur est le nombre des chances de l’arrivée desquelles cet événement dépend, et dont le dénominateur est le nombre total des chances ; et comme, d’un autre côté, on sait de combien de manières $n$ numéros peuvent être choisis entre $m$ ; on voit que la question se réduit à déterminer