Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/60

56

RÉSOLUTION GÉNÉRALE

${\begin{aligned}\rho _{1}^{n+1},\rho _{2}^{n+1},\rho _{3}^{n+1},\ldots \rho _{m}^{n+1}&=0,\\\rho _{1}^{n+2},\rho _{2}^{n+2},\rho _{3}^{n+2},\ldots \rho _{m}^{n+2}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\\rho _{1}^{m},\rho _{2}^{m},\rho _{3}^{m},\ldots \rho _{m}^{m}&=m,\\\rho _{1}^{m+1},\rho _{2}^{m+1},\rho _{3}^{m+1},\ldots \rho _{m}^{m+1}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\\end{aligned}}$

il viendra

$\rho _{1}^{n}x_{1}+\rho _{2}^{n}x_{2}+\rho _{3}^{n}x_{3}+\ldots \rho _{m}^{n}x_{m}=m{\sqrt[{m}]{\xi _{m-n}}},$

d’où

$\xi _{m-n}={\frac {1}{m^{m}}}\left\{\rho _{1}^{n}x_{1}+\rho _{2}^{n}x_{2}+\rho _{3}^{n}x_{3}+\ldots \rho _{m}^{n}x_{m}\right\}^{m}\,;$

faisant successivement, dans ce dernier résultat, $n=m-1,$ $m-2,$ $m-3,\ldots 2,$ $1,$ il viendra

$\left.{\begin{aligned}\xi _{1}&={\frac {1}{m^{m}}}\left\{\rho _{1}^{m-1}x_{1}+\rho _{2}^{m-1}x_{2}+\rho _{3}^{m-1}x_{3}+\ldots \rho _{m}^{m-1}x_{m}\right\}^{m},\\\xi _{2}&={\frac {1}{m^{m}}}\left\{\rho _{1}^{m-2}x_{1}+\rho _{2}^{m-2}x_{2}+\rho _{3}^{m-2}x_{3}+\ldots \rho _{m}^{m-2}x_{m}\right\}^{m},\\\xi _{3}&={\frac {1}{m^{m}}}\left\{\rho _{1}^{m-3}x_{1}+\rho _{2}^{m-3}x_{2}+\rho _{3}^{m-3}x_{3}+\ldots \rho _{m}^{m-3}x_{m}\right\}^{m},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\xi _{m-1}&={\frac {1}{m^{m}}}\left\{\rho _{1}x_{1}+\rho _{2}x_{2}+\rho _{3}x_{3}+\ldots \rho _{m}x_{m}\right\}^{m}.\\\end{aligned}}\right\}$ (B)

Avec ces valeurs il sera facile de former, en fonction de $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{m}$ les divers coefficiens de la réduite ; et, si les assertions de M. Wronski sont exactes, ces coefficiens devront, après le développement et les réductions résultant des propriétés des racines $m.^{me}$ de l’unité, se réduire à de simples fonctions symétriques de $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{m}$ exprimables conséquemment par des fonctions rationnelles des coefficiens de la proposée.