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FACULTÉS

2. J’observe que toute faculté numérique quelconque est constamment réductible à la forme très-simple

ici une idée succincte de ces sortes de fonctions, et des notations par lesquelles on les désigne.

Dans l’expression

$a^{m|r}=a(a+r)(a+r)\ldots \left[a+(m-1)r\right]\;;$

$a$ est ce qu’on appelle la base de la faculté, $r$ en est la différence, et $m$ en est l’exposant ; il est clair qu’on a, en renversant l’ordre des facteurs,

$a^{m|r}=\left[a+(m-1)r\right]^{m|-r}.$

Dans le cas où $r=0,$ la faculté se réduit évidemment à une simple puissance ; ainsi on a

$a^{m|0}=a^{m}.$

Au moyen d’un multiplicateur choisi d’une manière convenable, on peut changer, à volonté, soit la base soit la différence d’une faculté. Le principe de cette transformation réside dans les équations suivantes, qui se vérifient d’elles-mêmes par le simple développement,

$a^{m|r}=\left({\frac {a}{a'}}\right)^{n}\cdot a'^{n|{\frac {a'r}{a}}}=\left({\frac {r}{r'}}\right)^{n}\cdot \left({\frac {ar'}{r}}\right)^{n|r'}.$

Si l’on écrit l’équation identique

$a'(a'+r)\ldots \left[a'+(m-1)r\right]\left[a'+mr\right]\ldots \left[a'+(m+n-1)r\right]$
$=\left\{a'(a'+r)\ldots \left[a'+(m-1)r\right]\right\}\times \left\{\left(a'+mr\right)\ldots \left[a'+mr+(n-1)r\right]\right\}\;;$

suivant la notation des facultés, il viendra

$a'^{m+n|r}=a'^{m|r}=\times \left(a'+mr\right)^{n|r}\;;$

ou en posant $m+n=p,$ d’où $n=p-m,$ et $a'+mr=a,$ d’où $a'=a-mr,$ et renversant, cette équation deviendra

$\left(a-mr\right)^{m|r}\cdot a^{p-m|r}=\left(a-mr\right)^{p|r}\;;$

faisant alors $p=m,$ et réduisant, il viendra

$a^{0|r}=1\;;$

ainsi toute faculté dont l’exposant est zéro vaut l’unité.

Si, dans la même équation, on fait $p=0,$ en observant que, d’après ce qui précède, $\left(a-mr\right)^{0|r}=1,$ il viendra

$a^{-m|r}={\frac {1}{\left(a+mr\right)^{m|r}}}={\frac {1}{\left(a+r\right)^{m|r}}}\;;$

ce qui fournit l’interprétation des facultés dont l’exposant est négatif. On trouvera aussi que

$a^{-m|-r}={\frac {1}{\left(a+mr\right)^{m|-r}}}={\frac {1}{\left(a+r\right)^{m|r}}}.$