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DES ÉQUATIONS.

miner. Cela doit, à la vérité, élever un peu plus le degré des diverses équations ; mais en posant

$a=-{\sqrt[{m}]{\xi _{m-1}}},\quad b=-{\sqrt[{m}]{\xi _{m-2}}},\quad c=-{\sqrt[{m}]{\xi _{m-3}}},\ldots ,$

on rendra tous les calculs de Bezout immédiatement applicables aux formules de M. Wronski.

Ce rapprochement entre les deux méthodes semblerait nous autoriser à douter du succès de la dernière, même dès le $4.^{me}$ degré. Il paraît, en effet, résulter de l’analise de Bezout que, dans ce cas particulier $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},$ ne sauraient être, comme l’annonce M. Wronski, les racines d’une même équation du $3.^{me}$ degré ; mais que, tandis que $\xi _{2},$ est donné, à part, par une équation du $3.^{me}$ degré, $\xi _{1}$ et $\xi _{3}$ se trouvent donnés simultanément, par une équation du $6.^{me}$. Il pourrait se faire, au surplus, que la méthode de M. Wronski, exacte seulement lorsque $m$ est un nombre premier, dût être modifiée dans le cas contraire.

M. Wronski observe, en terminant son mémoire, que, dans la question qui vient de l’occuper, le point capital est la connaissance de la forme que les racines doivent affecter. Il est très-vrai, en effet, que si, pour tous les degrés, les racines devaient avoir la forme que l’auteur leur assigne, et si sur-tout les quantités $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\ldots \xi _{m-1},$ devaient être, comme il le prétend, les racines d’une même équation du $(m-1)^{me}$ degré ; le problème de la résolution générale des équations algébriques pourrait, par cela seul, être regardé comme complètement résolu. On va même voir que, dans cette hypothèse, on pourrait, pour chaque degré, parvenir à la réduite par une méthode qui, en même temps qu’elle serait incomparablement plus courte que celle qu’indique M. Wronski, aurait en outre l’avantage de porter avec elle sa démonstration.

Soit, en effet, $n$ un nombre entier quelconque, moindre que $m$. Soient multipliées respectivement les équations (A), par $\rho _{1}^{n},\rho _{2}^{n},\rho _{3}^{n},\ldots \rho _{m}^{n}.$ En prenant la somme des produits, et se rappelant que