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RÉSOLUTION GÉNÉRALE

au quatrième, où l’on est obligé de calculer 16 fonctions $\Omega$ et 64 fonctions Aleph. Il n’y a même guère d’apparence que personne songe à l’étendre au cinquième degré, pour lequel les $\Omega$ doivent être au nombre de 125 et les Aleph au nombre de 625 ; et où il faut finalement chercher le plus grand commun diviseur entre deux polynômes, l’un du $24^{me}$ et l’autre du $30^{me}$ degrés.

Quant aux fonctions désignées par le symbole $\Omega$ ; sans expliquer ici en détail la loi de leur formation, ce qui ne se pourrait sans donner à cet article plus d’étendue que le mémoire de M. Wronski n’en a lui-même, je me bornerai à dire qu’elles sont formées, d’une manière régulière, avec les sommes de puissances des degrés $m,2m,3m;\ldots ,m^{m-2}.m$ des valeurs hypothétiques des racines de la proposée, exprimées par les formules (A) ; en supposant qu’après avoir développé ces sommes de puisances, on supprime dans leurs développemens tous les termes irrationnels. Cette précaution est au surplus inutile, pour le troisième degré, où les termes radicaux s’évanouissent d’eux-mêmes par les propriétés des racines de l’unité ; mais il n’en est plus ainsi pour les degrés plus élevés. Si donc M. Wronski n’avait déjà donné des preuves de son profond savoir, on serait tenté de craindre qu’il ne se fût laissé égarer ici par l’analogie, et qu’il n’ait cru trop légèrement que, les termes affectés de radicaux disparaissant d’eux-mêmes dans le troisième degré, ils devaient également disparaître dans les degrés plus élevés.

M. Wronski croit être le premier à n’avoir pas fait subir de modifications à ses méthodes, pour les appliquer au $4^{me}$ degré ; mais il me semble qu’en cela il se trompe. La forme qu’il assigne aux racines, dans tous les degrés, est, en effet, exactement celle que Bezout leur avait assignées avant lui^[1], avec cette seule différence qu’au lieu des quantités $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\ldots \xi _{m-1},$ce sont les quantités ${\sqrt[{m}]{\xi _{1}}},{\sqrt[{m}]{\xi _{2}}},{\sqrt[{m}]{\xi _{3}}},\ldots {\sqrt[{m}]{\xi _{m-1}}}$ que Bezout cherche à déter-

1. Voyez le volume d’algèbre de son Cours, à l’usage de la marine. Voyez aussi les Mémoires de l’académie des sciences de Paris, pour 1762 et 1765.