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DES ÉQUATIONS.

$L^{m}\geqq {\frac {P_{k}L^{m-i+1}}{L-1}}\,;\qquad (7)$

pourvu toutefois que $L$ soit trouvé $>1$ ; sans quoi la relation (7) pourrait ne pas entraîner la relation (6). La relation (7), et conséquemment toutes les précédentes seront donc satisfaites, (sauf l’exception qui vient d’être indiquée), si l’on a

$L^{m}(L-1)\geqq P_{k}L^{m-i+1},\qquad (8)$

ou

$L^{m-(m-i+1)}.(L-1)\geqq P_{k},\qquad (9)$

ou encore

$L^{i-1}(L-1)\geqq P_{k}\,;\qquad (10)$

or, cette dernière condition sera remplie par $L$ et, à fortiori, par tout nombre plus grand que $L,$ si l’on a seulement

$L^{i-1}(L-1)=P_{k},\qquad (11)$

ou

$(L-1)^{i}=P_{k},\qquad (12)$

ou enfin

$L=1+{\sqrt[{i}]{P_{k}}},\qquad (13)$

Maintenant, pour $L$ et pour tout nombre $>L,$ la relation (10) sera satisfaite, ainsi que chacune des précédentes, jusqu’à la relation (7) ; et, parce que (13) donne $L>1,$ les mêmes nombres qui satisferont à (10) satisferont aussi à (6), et par conséquent à la relation (4) ; donc

$x<1+{\sqrt[{i}]{P_{k}}}.$

III. Voici présentement diverses observations propres à déduire de cette formule une limite très-approchée de la plus grande racine additive, même dans les cas qui paraissent les moins favorables.

1.^o Si le premier coefficient soustractif $-P_{i}$ était précédé d’un coefficient additif $P_{h},$ tel qu’on eût