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QUESTIONS

$X_{z+1}=X_{z}-{\frac {c}{a}}X_{z}+{\frac {c}{b}}Y_{z}=\left(1-{\frac {c}{a}}\right)X_{z}+{\frac {c}{b}}Y_{z}.$

Mais, d’un autre côté, si l’on désigne par $\alpha$ et $\beta$ les quantités d’eau qui se trouvaient respectivement dans les deux vases $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B,}$ avant la première opération, on aura

$X_{z}+Y_{z}=\alpha +\beta ,\qquad$d’où$\qquad Y_{z}=\alpha +\beta -X_{z}\,;$

substituant donc dans l’équation ci-dessus, elle deviendra

$X_{z+1}=\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z}+{\frac {c(\alpha +\beta )}{b}}\,;$

équation du premier ordre aux différences, entre les deux variables $X$ et $z,$ dont les coefficiens sont constans, et dont l’intégrale est

$X_{z}=a{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+C\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{z}\,;$^[1]

$C$ étant une constante arbitraire.

1. Voyez le Traité élémentaire de calcul différentiel et de calcul intégral de M. Lacroix, deuxième édition, page 573.

   De l’équation.

   $X_{z+1}=\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z}+{\frac {c(\alpha +\beta )}{b}}\,;$

   on déduit

   $X_{z+2}=\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z+1}+{\frac {c(\alpha +\beta )}{b}}\,;$

   d’où, en retranchant et transposant

   $X_{z+2}=\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z+1}-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z}\,;$

   équation du second ordre qui rentre dans celle de M. Lhuilier.

   Pour l’intégrer, on posera $X_{z}=p^{z}$ d’où $X_{z+1}=p^{z+1},\ X_{z+2}=p^{z+2},$ ce qui donnera, en substituant et divisant par $p^{z},$

   $p^{2}-\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)p+\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)=0\,;$

   d’où

   $p=1\qquad$et$\qquad p=1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\,;$

   donc