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QUESTIONS
![{\displaystyle X_{z+1}=X_{z}-{\frac {c}{a}}X_{z}+{\frac {c}{b}}Y_{z}=\left(1-{\frac {c}{a}}\right)X_{z}+{\frac {c}{b}}Y_{z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3d6684d865f2cb0f5e6f261b86514cd928046c)
Mais, d’un autre côté, si l’on désigne par
et
les quantités d’eau
qui se trouvaient respectivement dans les deux vases
et
avant
la première opération, on aura
![{\displaystyle X_{z}+Y_{z}=\alpha +\beta ,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d89986cce4e854d5a1d10014f3462994d90609)
d’où
![{\displaystyle \qquad Y_{z}=\alpha +\beta -X_{z}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c00f0dd1e020825ffd1877127ab08620fefa63)
substituant donc dans l’équation ci-dessus, elle deviendra
![{\displaystyle X_{z+1}=\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z}+{\frac {c(\alpha +\beta )}{b}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5ae333184b386bf78cca43eb972ae214a71b44)
équation du premier ordre aux différences, entre les deux variables
et
dont les coefficiens sont constans, et dont l’intégrale est
[1]
étant une constante arbitraire.
- ↑ Voyez le Traité élémentaire de calcul différentiel et de calcul intégral
de M. Lacroix, deuxième édition, page 573.
De l’équation.
![{\displaystyle X_{z+1}=\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z}+{\frac {c(\alpha +\beta )}{b}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5ae333184b386bf78cca43eb972ae214a71b44)
on déduit
![{\displaystyle X_{z+2}=\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z+1}+{\frac {c(\alpha +\beta )}{b}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e24f864e31bab06a46e720acb13cb095b270ad0)
d’où, en retranchant et transposant
![{\displaystyle X_{z+2}=\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z+1}-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X_{z}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a634cf6c4b1238a63f632b495e03bff7bebf4de)
équation du second ordre qui rentre dans celle de M. Lhuilier.
Pour l’intégrer, on posera
d’où
ce qui donnera, en substituant et divisant par ![{\displaystyle p^{z},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a0d26080cff15d52f62603d688906718e859be5)
![{\displaystyle p^{2}-\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)p+\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51e90548150dd295ab605b7dfc5df1819c428bf)
d’où
![{\displaystyle p=1\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d767afef9d6f89e655feb91f0806e10fb001b5)
et
![{\displaystyle \qquad p=1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fea4d5534218b670b7d06b37c7d11397cd13ce)
donc