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RÉSOLUES.

de là

$M=a.{\frac {\alpha +\beta }{a+b}},\qquad N={\frac {\alpha b+\beta a}{a+b}}\,;$

et partant

$X=a.{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}$

De là on déterminera le moment (s’il est possible) ou les quantités d’eau contenues dans les deux vases seront entre elles dans un rapport donné, où celui auquel la quantité d’eau contenue dans l’un de ces vases sera égale à une quantité donnée.

Si, dans l’état initial du mélange, les quantités d’eau contenues dans les deux vases sont respectivement proportionnelles aux capacités de ces vases, on a $\quad \alpha :\beta =a:b\,;$ de là $\alpha b-\beta a=0,$ et partant

$X=a.{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}=\alpha .$

Ainsi, dans ce cas particulier, quelque multipliées que soient les opérations, l’état des deux mélanges demeure invariable.

Deuxième solution ;

Par M. Tédenat, correspondant de la première classe de
l’Institut, recteur de l’académie de Nismes.

Soient après $z$ opérations, $X_{z}$ la quantité d’eau qui se trouve dans le vase $\mathrm {A,}$ et $Y_{z}$ la quantité d’eau qui se trouve dans le vase $\mathrm {B.}$ À la fin de l’opération suivante, ces deux quantités seront devenues respectivement $X_{z+1}$ et $Y_{z+1}$ ; or, il est clair que la quantité d’eau qui se trouvera alors dans le vase $\mathrm {A}$ sera égale à celle qui s’y trouvait après la $z^{me}$ opération, moins celle que la $(z+1)^{me}$ en a soustraite, plus celle qu’elle y a introduite ; ce qui donne sur-le-champ l’équation