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QUESTIONS

$(1-x)\left\{1-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x\right\}\,;$

ou, ce qui revient au même, du développement de la somme de deux fractions de la forme

${\frac {M}{1-x}},\qquad {\frac {N}{1-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x}}\,;$

or, les termes généraux correspondans de ces développemens sont

$Mx^{n}\qquad$et$\qquad N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}x^{n}\,;$

partant

$X=M+N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}\,;$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant deux constantes qu’il s’agit présentement de déterminer d’après l’état initial du mélange dans les deux vases.

Soient $\alpha$ et $\beta$ les quantités d’eau qui se trouvaient respectivement dans les deux vases $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B,}$ avant la première opération ; après cette première opération il se trouvera dans le vase $\mathrm {A}$ une quantité d’eau exprimée par

$\alpha -{\frac {c}{a}}\alpha +{\frac {c}{b}}\beta \,;$

ainsi il faut qu’en faisant successivement

$\left.{\begin{aligned}n&=0,\\n&=1,\\\end{aligned}}\right\}$ on ait $\left\{{\begin{aligned}X&=\alpha ,\\X&=\alpha -{\frac {c}{a}}\alpha +{\frac {c}{b}}\beta \,;\\\end{aligned}}\right.$

ce qui donne

$\alpha =M+N,$

$\alpha -{\frac {c}{a}}\alpha +{\frac {c}{b}}\beta =M+N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)\,;$