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RÉSOLUES.

et $Y,Y',Y''$ les quantités d’eau correspondantes qui se trouvent dans le vase $\mathrm {B.}$

Par l’opération qui fait passer les quantités d’eau des deux vases de $X$ et $Y$ à $X'$ et $Y'$ on extrait, savoir :

de $\mathrm {A}$ une quantité d’eau exprimée par ${\frac {c}{a}}X,$

de B une quantité d’eau exprimée par ${\frac {c}{b}}Y\,;$

on aura donc

$X'=X-{\frac {c}{a}}X+{\frac {c}{b}}Y\,;$

et on aura pareillement

$X''=X'-{\frac {c}{a}}X'+{\frac {c}{b}}Y'\,;$

on a d’ailleurs

$X+Y=X'+Y'\,;$

éliminant donc $Y$ et $Y'$ entre ces trois équations, il viendra

$X''=\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X'-\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)X\,;$

partant, les quantités d’eau successives contenues dans le premier vase forment une suite récurrente du second ordre, dont l’échelle de relation est

$+\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right),\qquad -\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)\,;$

cette suite récurrente provient donc du développement d’une fraction dont le dénominateur est

$1-\left(2-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x+\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)x^{2}\,$

c’est-à-dire,