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QUESTIONS

d’où M. Bérard conclut que cette courbe n’est ni rectifiable ni quarrable.

M. Bérard passe ensuite de l’équation (2) à l’équation en coordonnées rectangulaires ; il suffit pour cela de poser, comme l’on sait,

$x=\nu \operatorname {Cos} .t,\qquad y=\nu \operatorname {Sin} .t,$

d’où

$\nu ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\qquad \operatorname {Sin} .t={\frac {y}{\nu }}={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},\qquad \operatorname {Tang} .t={\frac {y}{x}},$

$t=\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {y}{x}}\right).$

Par toutes ces substitutions, l’équation (2) devient

$\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {y}{x}}\right)={\frac {ay}{x^{2}+y^{2}}},{\text{ ou }}{\frac {y}{x}}=\operatorname {Tang} .{\frac {ay}{x^{2}+y^{2}}}.\qquad$(3)

Cette dernière équation, un peu plus simple que celle de M. S., n’en diffère pas essentiellement, et s’y ramène sur-le-champ, au moyen de la formule connue

$\operatorname {Tang} .2z={\frac {2\operatorname {Tang} .z}{1-\operatorname {Tang} .^{2}z}}.$

En différentiant la première des équations (3) on obtient

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {y\left(x^{2}-2ax+y^{2}\right)}{x\left(x^{2}+y^{2}\right)-a\left(x^{2}-y^{2}\right)}}\,;$

équation qui, comme l’observe M. Bérard, pourra servir à mener des tangentes à la courbe et à discuter ses points singuliers.