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LIGNES

${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots =0,$

ou, plus simplement,

${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}+\alpha \left\{{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {1}{1.2}}+\ldots \right\}=0,\qquad$(III)

puisque $\alpha$ n’est point supposé nul. Ainsi, on pourra, pour la détermination de la courbe $\mathrm {PP}$, substituer la combinaison des équations (I) et (III) à celle des équations (I) et (II).

Mais, à mesure que $\alpha$ décroitra, la courbe $\mathrm {PP}$ se rapprochant de la courbe $\mathrm {TT}$, la surface $\mathrm {H'H'H'}$, exprimée par l’équation (III), tendra continuellement à devenir une surface $\mathrm {HHH}$, coupant $\mathrm {MMM}$ ou $\mathrm {GGG}$ suivant $\mathrm {TT}$ ; on aura donc l’équation de $\mathrm {HHH}$, en faisant $\alpha =0,$ dans l’équation (III), ce qui la réduit simplement à ${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}=0.$ Ainsi, la courbe $\mathrm {TT}$, tracée sur $\mathrm {MMM}$, qui répond à la valeur $A.$ de la constante, sera donnée par le système des deux équations

$V=0,\qquad {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}=0\,;$

si donc on élimine $A$ entre elles, l’équation résultante, en $x,y,z,$ devant être satisfaite par les coordonnées des courbes $\mathrm {TT,T'T',T''T''} ,\ldots$ qui répondent aux diverses valeurs $A,A',A'',\ldots$ de la constante, sera l’équation de la surface $\mathrm {MMM}$ qui les contient toutes, c’est-à-dire, de la surface cherchée.

Ces lignes $\mathrm {TT,T'T',T''T''} ,\ldots$ qui répondent aux diverses valeurs de la constante, sont ce qu’on appelle les Caractéristiques de la surface limite. Comme elles se succèdent suivant une loi uniforme, on peut demander de déterminer la courbe à laquelle elles sont toutes tangentes, et qui est dite l’arête de rebroussement de la surface limite, Voici par quelles considérations on obtiendra cette courbe.

Soit $mm$ la courbe cherchée ; soit $gg$ celle des caractéristiques qui répond à la valeur $A$ de la constante, cette caractéristique touchant $mm$ au point $t.$ Soit de plus $\mathrm {g'g'}$ celle des caractéristiques qui répond