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LIGNES
ou, plus simplement,
(III)
puisque n’est point supposé nul. Ainsi, on pourra, pour la détermination de la courbe , substituer la combinaison des équations
(I) et (III) à celle des équations (I) et (II).
Mais, à mesure que décroitra, la courbe se rapprochant
de la courbe , la surface , exprimée par l’équation (III),
tendra continuellement à devenir une surface , coupant ou suivant ; on aura donc l’équation de , en faisant dans l’équation (III), ce qui la réduit simplement à
Ainsi, la courbe , tracée sur , qui répond à la valeur
de la constante, sera donnée par le système des deux équations
si donc on élimine entre elles, l’équation résultante, en devant être satisfaite par les coordonnées des courbes qui répondent aux diverses valeurs de
la constante, sera l’équation de la surface qui les contient
toutes, c’est-à-dire, de la surface cherchée.
Ces lignes qui répondent aux diverses
valeurs de la constante, sont ce qu’on appelle les Caractéristiques de la surface limite. Comme elles se succèdent suivant une loi
uniforme, on peut demander de déterminer la courbe à laquelle
elles sont toutes tangentes, et qui est dite l’arête de rebroussement de la surface limite, Voici par quelles considérations on obtiendra cette courbe.
Soit la courbe cherchée ; soit celle des caractéristiques
qui répond à la valeur de la constante, cette caractéristique touchant
au point Soit de plus celle des caractéristiques qui répond