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LIGNES

Soit $\mathrm {MM}$ cette courbe cherchée (fig. 5), c’est-à-dire, la courbe enveloppante ; soit $\mathrm {GG}$ celle des courbes enveloppées qui répond à la valeur $A,$ et soit $\mathrm {T}$ le point où elle touche $\mathrm {MM}$ ; soient, de plus, $\mathrm {G'G'}$ celle des courbes enveloppées qui répond à la valeur $A'=A+\alpha ,$ $\mathrm {T'}$ le point où elle touche $\mathrm {MM} ,$ et $\mathrm {P}$ celui où elle coupe $\mathrm {GG} .$ On conçoit clairement que, plus $\alpha$ diminuera, et plus aussi le point $\mathrm {P}$ se rapprochera du point $\mathrm {T} ,$ en suivant l’arc de courbe $\mathrm {PT}$ ; en sorte que ces deux points se réuniront en un seul, lorsqu’enfin $\alpha$ sera devenu tout à fait nul ; mais alors les deux courbes $\mathrm {GG}$ et $\mathrm {G'G'}$ se confondront dans toute leur étendue.

Cela posé, on a, par le théorème de Taylor,

Équation de $\mathrm {GG} ,\qquad V=0,\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$(I)

Équation de $\mathrm {G'G'} ,\qquad V+{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots =0\,;\qquad$(II)

équations qui rentrent, en effet, l’une dans l’autre, lorsqu’on suppose $\alpha =0,$ et dont la combinaison, dans le cas contraire, fera connaître le point $\mathrm {P} .$

Or, on sait que, lorsque deux courbes passent par un même point, toute courbe qui a pour équation une combinaison quelconque des équations de ces deux courbes, passe aussi par ce point ; donc, en particulier, la différence entre les équations (I) et (II) est l’équation d’une courbe $\mathrm {H'H'}$ qui, comme $\mathrm {G'G'} ,$ coupe aussi $\mathrm {GG}$ au point $\mathrm {P} .$ Cette équation est

${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}{\frac {\alpha }{1}}+{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots =0,$

ou, plus simplement,

${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}+\alpha \left\{{\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} A^{2}}}{\frac {1}{1.2}}+\ldots \right\}=0,\qquad$(III)

puisque $\alpha$ n’est point supposé nul. Ainsi, on pourra, pour la détermination du point $\mathrm {P} ,$ substituer la combinaison des équations (I) et (III) à celle des équations (I) et (II).

Mais, à mesure que $\alpha$ décroitra, le point $\mathrm {P}$ se rapprochant du