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AU RÉDACTEUR.

§. 2. Observation sur la démonstration du principe qui sert de fondement à la théorie des équations.^[1]

L’équation $Ax^{n}+Bx^{n-1}+\ldots =y$ établit entre les variables $x,y$ une relation telle qu’à chaque valeur de $x=\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$ il correspond une valeur de $y=\beta ,\beta ',\beta ''\ldots .$ Réciproquement, pour $y=\beta$ on doit trouver $x=\alpha ,$ et par conséquent, il existe une série d’opérations à faire sur $y=\beta$ et les coefficîens $A,B,C,\ldots$ de manière à obtenir $x=\alpha$ ou, ce qui revient au même, on a

$\alpha =\phi (A,B,C,\ldots \beta ),$

et on aura pareillement

$\alpha '=\phi '(A,B,C,\ldots \beta '),$

$\alpha ''=\phi ''(A,B,C,\ldots \beta ''),$

. . . . . . . . . . . . . . .

Il s’agirait donc de démontrer que les fonctions $\phi ,\phi ',\phi '',\ldots$ sont les mêmes ou, ce qui revient au même, qu’il faut constamment exécuter sur les différentes valeurs de $y$ la même série d’opérations pour en conclure les valeurs correspondantes de $x$ ; il faudrait prouver en outre qu’à chaque valeur de $y,$ non comprise dans la série $\beta ,\beta ',\beta '',\ldots$ il doit nécessairement correspondre une valeur de $x$ ; or, c’est ce qui ne me paraît pas établi par le raisonnement de M. du Bourguet.

J’ai ouï dire, au surplus, que M. Gauss était parvenu à démontrer que toute équation est décomposable en facteurs réels du second degré au plus, sans supposer la décomposition en facteurs du pre-

1. Voyez la page 338 du 2.^e volume de ce recueil.