par ne saurait être parallèle à ; et conséquemment, on ne peut faire passer par ce point qu’une seule parallèle à cette droite.
M. Legendre qui, dans le temps, a eu la bonté d’examiner cette théorie, y a opposé l’objection que voici :
« Si la distance du point à laquelle vous supposez que rencontre est finie, votre raisonnement est exact ; mais, si cette distance est infinie, comme on peut très-bien le supposer, alors il n’y a plus rien à conclure. C’est la faute que j’ai commise moi-même, dans la première édition de mon ouvrage, et que je n’ai pas réussi depuis à corriger complètement par la seule synthèse. »
Mais, de quelque poids que puisse être, en ces matières, l’opinion de M. Legendre qui, comme on le voit, se juge lui-même assez sévèrement, il me paraît que son objection n’est pas tout-à-fait sans réplique ; et qu’elle a uniquement sa source dans l’habitude où nous sommes tous d’attacher une idée positive au mot infini.
Lorsqu’on dit de deux droites qu’elles se rencontrent à une distance infinie, ou l’on veut dire qu’elles se rencontrent en effet, ou bien l’on veut exprimer qu’elles ne se rencontrent pas ; il ne saurait y avoir ici de milieu. Or, j’ai supposé que rencontrait effectivement ; et, quelque nom qu’on veuille donner d’ailleurs à l’intervalle entre le point et celui où cette rencontre a lieu, comme on ne saurait se refuser à admettre qu’une droite peut être prolongée au-delà de l’un quelconque de ses points, il me paraît que, dans tous les cas, la conclusion conserve toute sa force.
Le tour de raisonnement que j’emploie ici n’est, au surplus, que celui dont M. Legendre fait lui-même usage, pour prouver qu’une ligne convexe est moindre que toute ligne qui, l’enveloppant extérieurement, se termine aux mêmes extrémités ; et qu’une surface convexe est moindre que toute surface qui, l’enveloppant extérieurement, se termine au même contour.
Je terminerai par montrer comment, en adoptant la définition
