prouver que, par le point , on peut toujours mener une parallèle à la droite , et qu’on ne lui en peut mener qu’une seule.
Démonstration. Par le point , on peut toujours (1) abaisser une perpendiculaire sur , et on ne lui en peut abaisser qu’une seule. De même, par ce point , on peut toujours (1) mener à une perpendiculaire , et on ne lui en peut mener qu’une seule ; et cette droite sera (3) parallèle à . Donc, 1.o par le point on peut mener, au moins, une parallèle à .
Reste donc à prouver que, par ce même point , on ne saurait mener aucune autre parallèle à .
Admettons que, par ce point , on puisse faire passer d’autres parallèles à , différentes de ; ces parallèles devront tomber dans l’un ou l’autre des deux angles droits . Supposons que ce soit dans le dernier ; on peut, par le point , mener, dans cet angle, une infinité de droites qui rencontrent ; et il est de plus évident que, si une droite passant par rencontre , toute autre droite, passant par , et faisant avec un angle moindre que celui que fera la première avec la même droite, rencontrera à plus forte raison, et même en un point plus voisin de .
On voit par là que, parmi les diverses droites conduites par , dans l’angle , celles qui rencontrent et celles qui ne la rencontrent pas ne sauraient se succéder alternativement, mais doivent être séparées les unes des autres, les premières étant limitées par , et les dernières par .
De toutes les droites qui, passant par , rencontrent , soit donc celle qui fait le plus grand angle aigu avec . On peut toujours concevoir prolongée vers , au-delà du point où cette droite est rencontrée par ; et si, par l’un quelconque des points du prolongement et par le point , on mène une droite, cette droite devra passer entre les côtés de l’angle ; en admettant donc que fût cette droite, attendu qu’elle est supposée rencontrer , on devrait avoir, d’après l’hypothèse, , ce qui est absurde. Donc, 2.o toute droite, autre que passant
