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LETTRE

des $x$ ; on trouve les deux angles $\alpha$ et $\alpha +{\tfrac {1}{2}}\varpi$ ; en sorte que la même formule fait connaître les directions des axes des $x''$ et des $y''.$ Si $\alpha$ désigne l’angle que fait l’axe des $x''$ avec l’axe des $x,$ il faudra porter sur cet axe des $x'',$ à partir du centre, la valeur

$A={\sqrt {\frac {2\left[bde-ae^{2}-cd^{2}-\left(b^{2}-4ac\right)f\right]}{\left(b^{2}-4ac\right)\left[\left(a+c\right)-{\sqrt {\left(b^{2}+(a-c)^{2}\right)}}\right]}}}\,;$

ce résultat est vrai, si $b$ est négatif, et il est faux si $b$ est positif.

Soit donnée pour exemple l’équation $y^{2}+3xy+5x=1.$

Rappelons les formules de mon mémoire (tom. II, p. 218) ;

$ay^{2}+2bxy+cx^{2}=P,\qquad gy'^{2}+hx'^{2}=P,$

$z^{2}-(a+c)z+\left(ac-b^{2}\right)=0,$

$\operatorname {Sin} .2\alpha =-{\frac {2b}{g-h}},\qquad \operatorname {Tang} .2\alpha =-{\frac {2b}{a-c}}.$

En substituant, on trouve

$z^{2}-6z+{\tfrac {11}{4}}=0,$ d’où $z={\tfrac {11}{2}}$ ou ${\tfrac {1}{2}}$

$\operatorname {Sin} .2\alpha =-{\frac {3}{h-g}},\qquad \operatorname {Tang} .2\alpha ={\tfrac {1}{4}}\,;$

or, comme $\operatorname {Sin} .2\alpha$ doit être positif, il s’ensuit que $g={\tfrac {1}{2}},\ h={\tfrac {11}{2}}\,;$ donc

$A^{2}={\tfrac {2}{11}},\qquad B^{2}=2.$

En appliquant les formules de M. Rochat, on trouve au contraire

$A^{2}=2,\qquad B^{2}={\tfrac {2}{11}}.$

Il est donc très-important de faire attention au double signe du radical, dans les valeurs de $M$ et $N,$ ou dans celles de $g$ et $h$ ; car, sans cette précaution, on déterminerait bien exactement l’ellipse et l’hyperbole, mais très-souvent ces courbes ne seraient point situées comme elles doivent l’être, relativement aux axes primitifs des coordonnées.