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LETTRE

$\operatorname {Tang} x-\operatorname {Tang} .y=(1+\operatorname {Tang} .x\operatorname {Tang} .y)\operatorname {Tang} .(x-y),$

substituant donc, et supprimant le facteur commun $\operatorname {Tang} .(x-y),$ on aura

$\left(1+\operatorname {Tang} .x\operatorname {Tang} .y\right)\left\{A+B\left(\operatorname {Tang} .^{2}x+\operatorname {Tang} .x\operatorname {Tang} .y+\operatorname {Tang} .^{2}y\right)+\ldots \right\}$

$=A+B\operatorname {Tang} ,^{2}(x-y)+C\operatorname {Tang} .^{4}(x-y)+\ldots \,;$

posant alors $y=x,$ cette équation deviendra simplement

$A=\left(1+\operatorname {Tang} .^{2}x\right)\left\{A+3B\operatorname {Tang} .^{2}x+5C\operatorname {Tang} .^{4}x+\ldots \right\}\,;$

ou, en développant,

$\left.{\begin{aligned}A=A&+3B\\&+A\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}\operatorname {Tang} .^{2}x&+5C\\&+3B\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}\operatorname {Tang} .^{4}x&+7D\\&+5C\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}\operatorname {Tang} .^{6}x&+\ldots \,;\\&\\\end{aligned}}$

donc

$3B+A=0,\qquad 5C+3B=0,\qquad 7D+5C=0,\ldots \,;$

d’où

$B=-{\tfrac {1}{3}}A,\qquad C=+{\tfrac {1}{5}}A,\qquad D=-{\tfrac {1}{7}}A,\ldots \,;$

donc enfin (6)

$x=A\left(\operatorname {Tang} .x-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {Tang} .^{3}x+{\tfrac {1}{5}}\operatorname {Tang} .^{5}x-\ldots \right)\,;$

on parviendra d’ailleurs facilement à s’assurer que la constante $A$ doit être égale à l’unité.

GÉOMÉTRIE.

Recherche de la distance entre les centres des cercles
inscrit et circonscrit à un même triangle ;

Par M. Garnier, docteur ès sciences, ancien professeur
à l’école polytechnique.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Au Rédacteur des Annales,

Monsieur,

La lecture de vos Annales me laisse le regret de n’avoir pas connu plutôt cet intéressant recueil ; il m’aurait servi à améliorer