Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/348

340

FACULTÉS

${\frac {\operatorname {Sin} .\varpi y}{\varpi y}}=1-{\frac {\varpi ^{2}y^{2}}{1.2.3}}+{\frac {\varpi ^{4}y^{4}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {\varpi ^{6}y^{6}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots \,;$

on a alors

$a'=1,\qquad b'=-{\frac {1}{1}},\qquad c'=+{\frac {1}{1.4}},\qquad d'=-{\frac {1}{1.4.9}},\ldots$

et il en résulte

${\frac {\operatorname {Sin} .\varpi y}{\varpi y}}=1-{\frac {y^{2}}{1}}+{\frac {y^{2}}{1}}.{\frac {y^{2}-1}{4}}-{\frac {y^{2}}{1}}.{\frac {y^{2}-1}{4}}.{\frac {y^{2}-4}{9}}+\ldots \,;$

série qui est ce que devient la série générale (6), dans le cas de $h=1$ ; elle sera donc égale au produit infini

$\left(1-{\frac {y^{2}}{1}}\right)\left(1-{\frac {y^{2}}{4}}\right)\left(1-{\frac {y^{2}}{9}}\right)\left(1-{\frac {y^{2}}{16}}\right)\ldots$

20. Appliquons encore nos règles générales à la décomposition en facteurs de la série

$\operatorname {Cos} .\varpi y=1-{\frac {\varpi ^{2}y^{2}}{1.2}}+{\frac {\varpi ^{4}y^{4}}{1.2.3.4}}-{\frac {\varpi ^{6}y^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots \,;$

au cas que cette décomposition soit possible. On aura ici $\mathrm {F0} =+1$ et il en sera de même de toutes les fonctions paires $\mathrm {F2,F4} ,\ldots \,;$ tandis qu’au contraire les fonctions impaires $\mathrm {F1,F3,F5} ,\ldots$ seront égales à $-1.$ On trouvera, d’après cela

$a'=1,\ b'=-{\tfrac {2}{1}},\ c'=+{\tfrac {4}{1.2.1.3}},\ d'=-{\tfrac {8}{1.2.3.1.3.5}},\ e'=+{\tfrac {16}{1.2.3.4.1.3.5.7}},\ldots$

Comparant ces valeurs (6) aux coefficiens

$1,\quad {\frac {1}{h}},\quad {\frac {1}{1.2h(h+1)}},\quad {\frac {1}{1.2.3h(h+1)(h+2)}},\ldots ,$

on verra qu’elles coïncident, dans la supposition de $h={\tfrac {1}{2}}.$ La série proposée sera donc égale au produit infini

$\left(1-{\frac {4y^{2}}{1}}\right)\left(1-{\frac {4y^{2}}{9}}\right)\left(1-{\frac {4y^{2}}{25}}\right)\left(1-{\frac {4y^{2}}{49}}\right)\ldots$

20. La dernière application que nous venons de faire de notre méthode laisse suffisamment apercevoir le caractère distinctif des séries de la forme