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NUMÉRIQUES.

${\begin{aligned}\mathrm {F2} &=a'+4b'+12c'\,;\\\mathrm {F3} &=a'+9b'+72c'+360d'\,;\\\mathrm {F4} &=a'+16b'+240c'+2880d'+201e'\,;\\\mathrm {F5} &=a'+25b'+600c'+12600d'+201600e'+1814400f'\,;\\\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et l’on trouvera facilement, d’après cela,

${\begin{aligned}a'&=2.{\frac {{\tfrac {1}{2}}\mathrm {F0} }{0!}},\\b'&=2\left\{{\frac {\mathrm {F1} }{2!}}-{\frac {{\tfrac {1}{2}}\mathrm {F0} }{1!1!}}\right\},\\c'&=2\left\{{\frac {\mathrm {F2} }{4!}}-{\frac {\mathrm {F1} }{1!3!}}+{\frac {{\tfrac {1}{2}}\mathrm {F0} }{2!2!}}\right\},\\d'&=2\left\{{\frac {\mathrm {F3} }{6!}}-{\frac {\mathrm {F2} }{1!5!}}+{\frac {\mathrm {F1} }{2!4!}}-{\frac {{\tfrac {1}{2}}\mathrm {F0} }{3!3!}}\right\},\\e'&=2\left\{{\frac {\mathrm {F4} }{8!}}-{\frac {\mathrm {F3} }{1!7!}}+{\frac {\mathrm {F2} }{2!6!}}-{\frac {\mathrm {F1} }{3!5!}}+{\frac {{\tfrac {1}{2}}\mathrm {F0} }{4!4!}}\right\},\\f'&=2\left\{{\frac {\mathrm {F5} }{10!}}-{\frac {\mathrm {F4} }{1!9!}}+{\frac {\mathrm {F3} }{2!8!}}-{\frac {\mathrm {F2} }{3!7!}}+{\frac {\mathrm {F1} }{4!6!}}-{\frac {{\tfrac {1}{2}}\mathrm {F0} }{5!5!}}\right\},\\\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

résultats dont la loi est manifeste.

18. La détermination des fonctions $\mathrm {F0,F1,F2} ,\ldots$ où

${\begin{aligned}\mathrm {F0} &=a,\\\mathrm {F1} &=a+b+c+d+e+f+\ldots ,\\\mathrm {F2} &=a+4b+16c+64d+256e+1024f+4096g+\ldots \\\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dépend, en général, de la sommation de la série

$\mathrm {Fy} =a+by^{2}+cy^{4}+dy^{6}+ey^{8}+fy^{10}+\ldots \,;$

mais il y a des cas très-nombreux où la valeur de cette série est connue pour toutes les valeurs entières de $y$ ; et, dans ce cas, la transformation qui nous occupe ici ne saurait présenter de difficulté.

19. En particulier, si cette série est nulle pour toutes les valeurs entières de $y,$ les valeurs des coefficiens $b',c',d',\ldots$ se réduiront à leur dernier terme. Tel est le cas de