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FACULTÉS

2. Cette expression admet des réductions ultérieures. D’après le théorème connu $a^{m+n|r}=a^{m|r}(a+mr)^{n|r},$ on aura, dans le cas particulier de $a=1,\ r=1$

$(m+n)!=m!(1+m)^{n|1}\,;$

ce qui donne

$(h-1+y)!=(h-1)!h^{y|1},$

$(h-1-y)!=(h-1)!h^{-y|1}\,;$

en conséquence, en désignant par $P$ le produit infini qui nous occupe, nous aurons

$P={\frac {(h-1)!(h-1)!}{\left(h-1+y\right)!\left(h-1-y\right)!}}={\frac {1}{h^{y|1}.h^{-y|1}}}.$

3. Comme on a, par les formules connues,

$h^{-y|1}={\frac {1}{\left(h-y\right)^{y|1}}},$

on pourra encore écrire

$P={\frac {\left(h-y\right)^{y|1}}{h^{y|1}}}.$

Comme tous les facteurs du produit $P$ ne renferment que les quarrés de $y,$ il doit être permis d’y remplacer $+y$ par $-y$, et réciproquement ; de sorte que les expressions

${\frac {\left(h-y\right)^{y|1}}{h^{y|1}}}{\text{ et }}{\frac {\left(h+y\right)^{-y|1}}{h^{-y|1}}},$

doivent être identiquement les mêmes. Elles le sont effectivement ; et, en employant les réductions que nous avons enseignées, l’une se transforme facilement dans l’autre.

4. Le théorème binomial est applicable aux factorielles^[1]. On a

1. Voyez l’Arithmétique universelle de l’auteur.
   J. D. G.