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RÉSOLUES.

mais, en considérant les triangles $\mathrm {D'A'E'}$ et $\mathrm {C'A'E'}$ comme ayant leur sommet commun en $\mathrm {A'}$, on aura

$\mathrm {E'D':E'C'} ::Aire\mathrm {E'A'D'} :Aire\mathrm {E'A'C'} \,;$

enfin, les triangles $\mathrm {BDA}$ et $\mathrm {BCA}$ formant respectivement des angles dièdres égaux avec leurs projections $\mathrm {E'D'A'}$ et $\mathrm {E'CA'}$, on aura encore

$Aire\mathrm {E'A'D'} :Aire\mathrm {E'A'C} ::Aire\mathrm {BAD} :Aire\mathrm {BAC} \,;$

et, en rapprochant ces trois proportions, on en conclura

$Aire\mathrm {BAD} :Aire\mathrm {BAC::ED:EC} .$

Au lieu de faire la projection sur un plan perpendiculaire à $\mathrm {BE}$, on peut la faire sur un plan perpendiculaire à $\mathrm {AB}$ ; cette projection sera alors évidemment un triangle $\mathrm {D'A'C'}$ dans lequel $\mathrm {A'E'}$ divisera l’angle $\mathrm {A'}$ en deux parties égales) on aura donc, par le théorème connu de géométrie plane,

$\mathrm {A'D':A'C'::E'D':E'C'{\text{ ou }}} ::\mathrm {ED:EC} \,;$

mais, parce que $\mathrm {A'D'}$ et $\mathrm {A'C'}$ sont les hauteurs respectives des triangles de mêmes bases $\mathrm {ADB}$ et $\mathrm {ACB} ,$ on aura aussi

$Aire\mathrm {ADB} :Aire\mathrm {ACB::A'D':A'C'} \,;$

on aura donc également

$Aire\mathrm {ADB} :Aire\mathrm {ACB::ED:EC} .$

C’est à peu près à cela que reviennent les démonstrations du premier théorème, fournies par MM. Le Grand, Labrousse et Lambert. Ils en déduisent ensuite celle du second.