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RÉSOLUES.
mais, en considérant les triangles
et
comme ayant
leur sommet commun en
, on aura
![{\displaystyle \mathrm {E'D':E'C'} ::Aire\mathrm {E'A'D'} :Aire\mathrm {E'A'C'} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd795f8f865c923dedfd5eab4fda243ae1c0604)
enfin, les triangles
et
formant respectivement des angles
dièdres égaux avec leurs projections
et
, on aura encore
![{\displaystyle Aire\mathrm {E'A'D'} :Aire\mathrm {E'A'C} ::Aire\mathrm {BAD} :Aire\mathrm {BAC} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a2551455ae8e29a7219e7252de728d0c7d8c4a)
et, en rapprochant ces trois proportions, on en conclura
![{\displaystyle Aire\mathrm {BAD} :Aire\mathrm {BAC::ED:EC} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2e0f0db38d596a0f5d39585e1f440ea5c91d98)
Au lieu de faire la projection sur un plan perpendiculaire à
,
on peut la faire sur un plan perpendiculaire à
; cette projection
sera alors évidemment un triangle
dans lequel
divisera
l’angle
en deux parties égales) on aura donc, par le théorème
connu de géométrie plane,
![{\displaystyle \mathrm {A'D':A'C'::E'D':E'C'{\text{ ou }}} ::\mathrm {ED:EC} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b37ed96a140facd19ccdfe1fc3dfd711fbcb223)
mais, parce que
et
sont les hauteurs respectives des
triangles de mêmes bases
et
on aura aussi
![{\displaystyle Aire\mathrm {ADB} :Aire\mathrm {ACB::A'D':A'C'} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a0cbc3c7ec0be12abef481e45bdaae5cce12b7)
on aura donc également
![{\displaystyle Aire\mathrm {ADB} :Aire\mathrm {ACB::ED:EC} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632518782e0a9b767b46ad1acae7a204ffb9cd05)
C’est à peu près à cela que reviennent les démonstrations du premier
théorème, fournies par MM. Le Grand, Labrousse et Lambert. Ils
en déduisent ensuite celle du second.