tétraèdre ; soit le point où l’arête est coupée par le plan qui divise en deux parties égales l’angle dièdre dont l’arête est ; soit en outre le point de où la face est rencontrée par la droite qui, partant du sommet , fait des angles égaux avec les trois faces adjacentes à ce sommet.
I. En considérant les deux tétraèdres et comme ayant leur sommet commun en , leurs volumes seront proportionnels aux aires de leurs bases ; et, comme ces bases sont des triangles qui ont leur sommet commun en , leurs aires seront elles-mêmes proportionnelles à leurs bases , ainsi, l’on aura
D’un autre côté, en considérant ces mêmes tétraèdres comme ayant leur sommet commun en , ils auront même hauteur (Lemme I), puisque est un des points du plan qui divise en deux parties égales l’angle dièdre dont l’arête est ; les volumes de ces tétraèdres seront donc proportionnels aux aires de leurs bases et ; c’est-à-dire, qu’on aura
d’où on conclura, à cause du rapport commun,
ce qui est le premier des deux théorèmes.
M. Gobert a fourni une démonstration analitique fort élégante de ce théorème.
M… de Lyon, a remarqué que la recherche du point se réduit à partager en parties proportionnelles aux aires des triangles ou, plus simplement, proportionnelles aux perpendiculaires abaissées des points sur la base commune de ces deux triangles.
