Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/315

307

ET SURFACES DU SECOND ORDRE.

on exprimera cette circonstance en exprimant que l’élimination de $x$ et $y,$ entre ces deux équations et celle de (Q), conduit à une équation qui laisse $z$ indéterminée ; cette équation en $z$ est

$\left\{(\beta \gamma '-\beta '\gamma )(2ag+d)+(\gamma \alpha '-\gamma '\alpha )(2bh+e)+(\alpha \beta '-\alpha '\beta )(2ck+f)\right\}z$

$+(\beta '\lambda -\beta \lambda ')(2ag+d)+(\alpha \lambda '-\alpha '\lambda )(2bh+e)+(\alpha \beta '-\alpha '\beta )(dg+eh+fk)=0\,;$

égalant donc à zéro le coefficient de $z$ et le terme tout connu, en changeant $g,h,k$ en $x,y,z,$ les équations de la polaire (N) de (M) seront

$\left.{\begin{aligned}(\beta \gamma '-\beta '\gamma )(2ax+d)+(\gamma \alpha '-\gamma '\alpha )(2by+e)+(\alpha \beta '-\alpha '\beta )(2cz+f)&=0,\\\\(\beta '\lambda -\beta \lambda ')(2ax+d)+(\alpha \lambda '-\alpha '\lambda )(2by+e)+(\alpha \beta '-\alpha '\beta )(dx+ey+fz)&=0.\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(N)}$

Si l’axe des $z$ est un diamètre, et que (M) soit parallèle au plan des $xy,$ on aura $d=0,\ e=0,\ \alpha \beta '-\alpha '\beta =0$ ; les équation de (N) deviendront donc

$a(\beta \gamma '-\beta '\gamma )x+b(\gamma \alpha '-\gamma '\alpha )y=0,\ a(\beta '\lambda -\beta \lambda ')x+b(\alpha \lambda '-\alpha '\lambda )y=0\,;$

d’où l’on voit que cette droite (N) passera alors par l’axe des $z.$

Si le plan des $xy$ est un plan diamètre et que (M) soit parallèle à l’axe des $z,$ on aura $f=0,\ \beta \gamma '-\beta '\gamma =0,\ \gamma \alpha '-\gamma '\alpha =0$ ; les équations de (N) deviendront donc

$z=0,\ (\beta '\lambda -\beta \lambda ')(2ax+d)+(\alpha \lambda '-\alpha '\lambda )(2by+e)+(\alpha \beta '-\alpha '\beta )(dx+ey)=0,$

d’où l’on voit que cette droite (N) sera alors sur le plan des $xy.$ De là résultent ces deux théorèmes :

THÉORÈME. Trois diamètres d’une surface du second ordre étant conjugués ; si une droite est parallèle au plan de deux de ces diamètres, sa polaire passera par le troisième ; et réciproquement.

THÉORÈME. Trois diamètres d’une surface du second ordre étant conjugués ; toute parallèle à l’un d’eux a sa polaire dans le plan des deux autres ; et réciproquement.