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ET ELLIPSOÏDE.

seront aussi inscrites au parallélogramme dont il vient d’être question ci-dessus.

De là résulte le théorème suivant :

THÉORÈME. Si, à une ellipse donnée, on inscrit arbitrairement un parallélogramme dont les côtés soient parallèles à deux diamètres conjugués ; l’ellipse inscrite à ce parallélogramme, de manière à ce qu’elle touche les milieux, de ses côtés, se trouvera aussi inscrite au parallélogramme dont les diagonales seraient ceux des diamètres conjugués de la première ellipse, auxquels les côtés de l’autre parallélogramme sont supposés parallèles.

Supposons actuellement que les diamètres conjugués dont il a été question jusqu’ici soient rectangulaires ; et soient conséquemment les axes mêmes de la courbe, l’un des parallélogrammes deviendra un rectangle, et l’autre sera un lozange. Or l’équation (C) donne

$a={\frac {a'}{b'}}{\sqrt {b'^{2}-b^{2}}},\qquad$d’où$\qquad 4ab={\frac {4a'b}{b'}}{\sqrt {b'^{2}-b^{2}}}\,;$

mais $4ab$ exprime l’aire du rectangle inscrit à l’ellipse donnée par l’équation (C) ; donc ${\frac {4a'b}{b'}}{\sqrt {b'^{2}-b^{2}}}$ exprime aussi cette aire ; or, si l’on égale à zéro le coefficient différentiel de cette expression, pris par rapport à $b,$ il vient

$b=\pm {\frac {b'}{\sqrt {2}}},\qquad$d’où$\qquad a=\pm {\frac {a'}{\sqrt {2}}},$

valeurs qui déterminent les quatre sommets du plus grand rectangle inscrit, lequel, comme il est facile de le voir, a pour ses diagonales les diamètres conjugués égaux de l’ellipse, et est conséquemment semblable au rectangle formé par les tangentes aux sommets de cette ellipse.

De là nous pouvons conclure que, de toutes les ellipses inscrites au lozange qui a pour sommets les sommets de la première ellipse, la plus grande est celle qui est inscrite au rectangle dont les diagonales sont les diamètres conjugués égaux de cette première ellipse.