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PÔLES DES LIGNES

§. II.

Une surface (S) du second ordre étant donnée, on peut toujours déterminer une infinité de systèmes d’axes, soit rectangulaires soit obliques, tels que, la surface y étant rapportée, son équation prenne la forme

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dx+ey+fz=0.\qquad$(S)^[1]

Si, par un point $(x',y',z'),$ pris sur cette surface, on lui mène un plan tangent (T), l’équation de ce plan se présentera d’abord sous la forme

$(2ax'+d)(x-x')+(2by'+e)(y-y')+(2cz'+f)(z-z')=0,$

et pourra ensuite être écrite ainsi

$(2ax'+d)x+(2by'+e)y+(2cz'+f)z=$

$2ax'^{2}+2by'^{2}++2cz'^{2}+dx'+ey'+fz'=0,$

mais, parce que le point $(x',y',z')$ est sur (S), on doit avoir

$ax'^{2}+by'^{2}+cz'^{2}+dx'+ey'+fz'=0\,;\qquad$(S’)

en ajoutant le double de cette dernière à la précédente, et réduisant, l’équation du plan tangent (T) au point $(x',y',z')$ de la surface (S) prend cette forme très-simple

$(2ax'+d)x+(2by'+e)y+(2cz'+f)z+dx'+ey'+fz'=0\qquad$(T)

Supposons, en second lieu, que l’on propose de mener à la surface un plan tangent, par un point extérieur (p), ayant $\alpha ,\beta$ et $\gamma$ pour ses coordonnées ; en désignant par $x',y',z'$ les coordonnées du point de contact, l’équation (T) sera encore celle du plan cherché ; mais avec cette différence que $x',y',z'$ qui, tout à l’heure, étaient connues, seront ici inconnues : or, elles se trouvent d’abord

1. Je conserve ici les trois termes en $x$ en $y$ et en $z,$ pour les mêmes raisons qui m’ont fait conserver les deux termes en $x$ et en $y$ dans le § précédent.