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PÔLES DES LIGNES

proposerait de déterminer le sommet (p) de l’angle circonscrit, par la connaissance de la droite (q) qui passe par les points de contact, n’offrirait guère plus de difficulté ; il ne s’agirait, en effet, pour le résoudre, que de considérer les coordonnées $\alpha ,\beta ,$ du point (p) comme inconnues, dans l’équation (q), et de les déterminer en exprimant que cette équation est identique avec celle de la droite donnée.^[1]

Supposons présentement que le point (p) soit variable, alors la droite (q) le sera aussi ; assujettissons-là néanmoins, dans ses variations, à passer constamment par un certain point (P), ayant $g$ et $h$ pour ses coordonnées ; nous exprimerons cette circonstance par l’équation unique

(2a\alpha +d)g+(2b\beta +e)h+d\alpha +e\beta =0,

ou

(2ag+d)\alpha +(2bh+e)\beta +dg+eh=0\,;

cette équation exprimant une relation constante entre les coordonnées $\alpha$ et $\beta$ du point (p), en y changeant ces coordonnées en $x$ et $y,$ elle deviendra celle du lieu (Q) de tous les points (p) qui répondent aux diverses situations que peut prendre la droite (q) autour du point (P) ; l’équation de ce lieu (Q) sera donc

(2ag+d)x+(2bh+e)y+dg+eh=0\,;\qquad

(Q)

équation d’une ligne droite.

De là résulte ce théorème :

↑ Il est remarquable que, quand bien même le point (p) serait situé du côté de la concavité de la courbe, la droite (q) n’en existerait pas moins ; et que, réciproquement, quand bien même la droite (q) ne couperait pas la courbe, le point (p) n’en aurait pas moins une existence effective ; mais ce point et cette droite cesseraient alors de répondre à l’idée que nous en donnons ici. Il n’est aucun point, sur le plan d’une ligne du second ordre, auquel il ne réponde une pareille droite, ni aucune droite, sur le même plan, à laquelle il ne réponde un pareil point. On va voir, tout à l’heure, quelle est la relation remarquable qui les lie les uns aux autres.

[1] Il est remarquable que, quand bien même le point (p) serait situé du côté de la concavité de la courbe, la droite (q) n’en existerait pas moins ; et que, réciproquement, quand bien même la droite (q) ne couperait pas la courbe, le point (p) n’en aurait pas moins une existence effective ; mais ce point et cette droite cesseraient alors de répondre à l’idée que nous en donnons ici. Il n’est aucun point, sur le plan d’une ligne du second ordre, auquel il ne réponde une pareille droite, ni aucune droite, sur le même plan, à laquelle il ne réponde un pareil point. On va voir, tout à l’heure, quelle est la relation remarquable qui les lie les uns aux autres.

[1]