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ELLIPSE

conjugués quelconques $2a$ et $2b.$ On sait qu’une tangente à cette ellipse a pour équation

$a^{2}yy'+b^{2}xx'=a^{2}b^{2},\qquad \mathrm {(B)}$

$x'$ et $y'$ étant les coordonnées du point de contact, liées entre elles par l’équation (A).

Soient désignées respectivement par $a'$ et $b'$ les distances de l’origine auxquelles cette tangente coupe les axes des $x$ et des $y$ ; alors, dans l’équation (B),

à $\left\{{\begin{aligned}x&=0\\y&=0\\\end{aligned}}\right\}$ devront répondre $\left\{{\begin{aligned}y&=b',\\x&=a'\,;\\\end{aligned}}\right\}$

on aura donc, d’après cela,

$x'={\frac {a^{2}}{a'}},\qquad y'={\frac {b^{2}}{b'}}\,;$

substituant donc, dans l’équation (À), il viendra

$a'^{2}b^{2}+b'^{2}a^{2}=a'^{2}b'^{2}\,;\qquad \mathrm {(C)}$

et l’équation de la tangente sera simplement

$a'y+b+b'x=a'b'.\qquad \mathrm {(D)}$

Concevons présentement que $a'$ et $b'$ soient seuls donnés, et que $a$ et $b$ soient deux lignes variables, liées uniquement entre elles par l’équation (C) ; alors cette équation sera celle d’une ellipse, rapportée à deux diamètres conjugués $2a',2b'.$

L’équation (D) sera celle de l’un des côtés d’un parallélogramme inscrit à cette ellipse, de manière que ses diagonales soient les deux diamètres conjugués $2a'$ et $2b'.$

Et, quant à l’équation (A), elle appartiendra à toutes les ellipses qui, ayant même centre que la précédente, et leurs diamètres conjugués dans la même direction que les siens, auront successivement ces diamètres doubles des coordonnées de tous ses points.

Et il est aisé de voir que ces dernières ellipses, inscrites à une suite de parallélogrammes inscrits eux-mêmes à la première ellipse,